সেট শব্দটি আমাদের সুপরিচিত। যেমন : টিসেট, সোফাসেট, ডিনারসেট, এক সেট বই ইত্যাদি । জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫-১৯১৮) সেট সম্পর্কে ধারণা ব্যাখ্যা করেন। সেট সংক্রান্ত তাঁর ব্যাখ্যা গণিত শাস্ত্রে সেটতত্ত্ব (Set Theory) হিসেবে পরিচিত। সেটের প্রাথমিক ধারণা থেকে প্রতীক ও চিত্রের মাধ্যমে সেট সম্পর্কে জ্ঞান অর্জন করা আবশ্যক। এ অধ্যায়ে বিভিন্ন ধরনের সেট, সেট প্রক্রিয়া ও সেটের ধর্মাবলি সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

➤ সেট ও সেট গঠন প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা করতে পারবে।

➤ সসীম সেট, সার্বিক সেট, পূরক সেট, ফাঁকা সেট, নিশ্ছেদ সেট বর্ণনা করতে পারবে এবং এদের গঠন প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারবে।

➤ একাধিক সেটের সংযোগ সেট, ছেদ সেট গঠন ও ব্যাখ্যা করতে পারবে।

➤ ভেনচিত্র ও উদাহরণের সাহায্যে সেট প্রক্রিয়ার সহজ ধর্মাবলি যাচাই ও প্রমাণ করতে পারবে।

➤ সেটের ধর্মাবলি প্রয়োগ করে সমস্যা সমাধান করতে পারবে।

বাস্তব বা চিন্তাজগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। ইংরেজি বর্ণমালার প্রথম পাঁচটি বর্ণ, এশিয়া মহাদেশের দেশসমূহ, স্বাভাবিক সংখ্যা ইত্যাদির সেট সু-সংজ্ঞায়িত সেটের উদাহরণ। কোন বস্তু বিবেচনাধীন সেটের অন্তর্ভুক্ত আর কোনটি নয় তা সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত হতে হবে। সেটের বস্তুর কোনো পুনরাবৃত্তি ও ক্রম নেই।

সেটের প্রত্যেক বস্তুকে সেটের উপাদান (element) বলা হয় । সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A, B, C,..., X, Y, Z দ্বারা এবং উপাদানকে ছোট হাতের অক্ষর a, b, c, x, y, z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সেটের উপাদানগুলোকে{ } এই প্রতীকের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে সেট হিসেবে ব্যবহার করা হয় । যেমন: a,b,c-এর সেট {a,b,c}; তিস্তা, মেঘনা, যমুনা ও ব্রহ্মপুত্র নদ-নদীর সেট {তিস্তা, মেঘনা, যমুনা, ব্রহ্মপুত্র}, প্রথম দুইটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট {2, 4}; 6 এর গুণনীয়কসমূহের সেট {1, 2, 3, 6} ইত্যাদি । মনে করি, সেট A এর একটি উপাদান x । একে গাণিতিকভাবে x ∈ A প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । x ∈ A কে পড়তে হয়, x, A সেটের উপাদান ( x belongs to A)। যেমন, B = {m, n} হলে, m ∈ B এবং n ∈ B.

উদাহরণ ১। প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {1,3,5,7,9}

বাংলার নবজাগরণ ও ব্রিটিশ বিরোধী আন্দোলন
ইংরেজরা তাদের শাসন পাকাপোক্ত করার লক্ষ্যে দেশীয়দের মধ্য থেকে ইংরেজি শিক্ষায় শিক্ষিত একটি অনুগত শ্রেণি তৈরিতে মনোযোগ দেয়। ১৭৮১ সালে ওয়ারেন হেস্টিংস কলকাতা মাদ্রাসা প্রতিষ্ঠা করেন। এর একটা বাড়তি লক্ষ্য ছিল চাকরির সুযোগ সৃষ্টি করে রাজ্য হারানো ক্ষুব্ধ মুসলমানদের সন্তুষ্ট করা। এরই ধারাবাহিকতায় হিন্দুদের জন্যে ১৭৯১ সালে প্রতিষ্ঠা করা হয় সংস্কৃত কলেজ। ইংরেজদের উদ্দেশ্য সাধনের পাশাপাশি আধুনিক শিক্ষার সংস্পর্শে এসে স্থানীয় মানুষের মধ্যে নতুন চেতনার স্ফূরণ ঘটতে থাকে। বহুকালের প্রচলিত বিশ্বাস, সংস্কার, বিধান সম্পর্কে তাদের মনে সংশয় ও প্রশ্ন জাগতে থাকে। হিন্দু সমাজ থেকে সতীদাহের মতো কুপ্রথার বিরুদ্ধে রীতিমতো আন্দোলন শুরু হলো, বিধবা বিবাহের পক্ষে মত তৈরি হলো। এদেশে এ সময় জ্ঞানচর্চায় সীমিত কিন্তু কার্যকর জোয়ার সৃষ্টি হয়। ইংরেজ মিশনারি স্যার উইলিয়াম কেরি খ্রিষ্টধর্ম প্রচারের কর্মভূমিকা ছাড়াও নানা সামাজিক কাজে নিজেকে যুক্ত রেখেছিলেন। তিনি বাংলা ব্যাকরণ রচনা, মুদ্রণযন্ত্র প্রতিষ্ঠা, সংবাদপত্র প্রকাশ, স্কুল টেক্স্ট বোর্ড গঠনসহ গুরুত্বপূর্ণ কাজের পথ প্রদর্শন করেছিলেন। এরই ধারাবাহিকতায় ইংরেজরা উচ্চ শিক্ষার জন্য সারাদেশে স্কুল প্রতিষ্ঠার পাশাপাশি কিছু কলেজও স্থাপন করে। অবশেষে ১৮৫৭ সালে উচ্চতর শিক্ষা ও গবেষণার প্রতিষ্ঠান হিসাবে কলকাতা বিশ্ববিদ্যালয় প্রতিষ্ঠিত হয়।

১৮২১ সালে শ্রীরামপুরে মুদ্রণযন্ত্র স্থাপনও বাংলার মানুষের মনকে মুক্ত করা ও জাগিয়ে তোলার ক্ষেত্রে আরেকটি পথ খুলে দেয়। এর ফলে বইপুস্তক ছেপে জ্ঞানচর্চাকে শিক্ষিত সাধারণের মধ্যে ছড়িয়ে দেওয়া ও স্থায়িত্ব দেওয়ার পথ সুগম হয়। এ সময় সংবেদনশীল মানুষের নজর যায় সমাজের দিকে । সমাজের অনাচার নিয়ে যেমন তাঁরা আত্মসমালোচনা করেছেন তেমনি শাসকদের অবিচারের বিরুদ্ধেও কঠোর ভাষায় সমালোচনা করেছেন। বাংলা ভাষায় সংবাদপত্র প্রকাশ করে জনমত সৃষ্টিতে এগিয়ে আসে অনেকে ।

রাজা রামমোহন রায় ও ঈশ্চরচন্দ্র বিদ্যাসাগর সমাজ সংস্কারে হাত দেন। ডিরোজিও, বিদ্যাসাগর প্রমুখ অবাধে মুক্তমনে জ্ঞানচর্চার ধারা তৈরি করেন। বাংলার পিছিয়ে পড়া জনগোষ্ঠীর আধুনিক জ্ঞানচর্চার এই ধারা যুক্ত করতে নওয়াব আবদুল লতিফ, সৈয়দ আমীর আলীর অবদান রয়েছে। আবার বিদ্যাসাগর, বঙ্কিমচন্দ্র, মাইকেল মধুসূদন ও রবীন্দ্রনাথের হাতে বাংলা ভাষা ও সাহিত্যের বিকাশ ঘটে। বাংলা সাহিত্যে মীর মশাররফ হোসেন, শরৎচন্দ্র চট্টোপাধ্যায়, কাজী নজরুল ইসলামের অবদানও ব্যাপক ।

বাঙালির এই নবজাগরণ কলকাতা মহানগরীতে ঘটলেও এর পরোক্ষ প্রভাব সারা বাংলাতেই পড়েছে। ঔপনিবেশিক শাসনামলের আধুনিক শিক্ষা ও জাগরণের আরেকটি দিক হলো দেশপ্রেমে উদ্বুদ্ধ জাতীয়তাবাদী চেতনার বিকাশ। সেই সাথে স্বাধীনতার আকাঙ্ক্ষা ও গণতান্ত্রিক অধিকার বোধেরও উন্মেষ ঘটতে থাকে।

ব্রিটিশ-বিরোধী আন্দোলনের চূড়ান্ত বীজ রোপিত হয়েছিল ১৯০৫ সালের বঙ্গভঙ্গ পরিকল্পনার পিছনে । যদিও ইংরেজ শাসকদের বক্তব্য ছিল দেশের কল্যাণ। এ সময় বাংলার সীমানা ছিল অনেক বড়। পূর্ববাংলা, পশ্চিম বাংলা, বিহার ও উড়িষ্যা নিয়ে ছিল বৃহত্তর বাংলা। তাই কলকাতাকেন্দ্রিক ইংরেজ শাসকদের পক্ষে দূরবর্তী অঞ্চলে সুশাসন প্রতিষ্ঠা কঠিন ছিল। এ কারণে পূর্ব বাংলা, বিহার ও উড়িষ্যার উন্নয়ন সম্ভব হয় নি। ইংরেজ ভাইসরয় লর্ড কার্জন ১৯০৩ সালে প্রস্তাব রাখেন যে, সুশাসন প্রতিষ্ঠার লক্ষ্যে বাংলাকে দুইভাগে ভাগ করা হবে। ঢাকাকে রাজধানী করে নতুন প্রদেশ করা হবে। এই প্রদেশের নাম হবে ‘পূর্ব বঙ্গ ও আসাম' প্রদেশ। একজন লেফটেন্যান্ট গভর্নর এই প্রদেশ শাসন করবেন।

যুক্তি থাকলেও বস্তুতঃ এর মধ্য দিয়ে বাংলায় ক্রমবর্ধমান ব্রিটিশ বিরোধী আন্দোলনকে বিভক্ত করাই ছিল মূল উদ্দেশ্য । বাংলাকে ভাগ করার মধ্যে দিয়ে ইংরেজ শাসকরা বাংলার হিন্দু-মুসলমান সম্প্রদায়ের মধ্যে ভাঙন ধরাতে চেয়েছে বলে মনে করা হয় । কারণ, পূর্ববাংলার বেশিরভাগ মানুষ মুসলমান । তাই মুসলমান নেতারা ভেবেছেন নতুন প্রদেশ হলে পূর্ব বাংলার উন্নতি হবে। কিন্তু শিক্ষিত হিন্দু নেতারা বঙ্গভঙ্গের বিরোধিতা করেন। এ কারণে দুই সম্প্রদায়ের মধ্যে দূরত্ব বাড়তে থাকে। ভারতীয় জাতীয় কংগ্রেসের বড় নেতাদের অধিকাংশ ছিলেন হিন্দু সম্প্রদায়ের। তারা মুসলমান নেতাদের সাথে পরামর্শ না করে বঙ্গভঙ্গের বিরোধিতা করেন। ফলে মুসলমান নেতাদের মধ্যে নতুন ভাবনার সৃষ্টি হয়। তারা বুঝতে পারে মুসলমানদের দাবি আদায়ের জন্য তাদের নিজেদের একটি রাজনৈতিক সংগঠন প্রয়োজন। এই লক্ষ্যে ১৯০৬ সালে ঢাকায় মুসলিম লীগ নামে মুসলমানদের একটি সংগঠন প্রতিষ্ঠিত হয়। ইংরেজদের অভিসন্ধি অনেকটা সফল হয়। ১৯০৫ সালে বঙ্গভঙ্গ কার্যকর হওয়ার পর থেকে দুই সম্প্রদায়ের দ্বন্দ্ব স্পষ্ট হয়। বঙ্গভঙ্গ কার্যকর করা থেকে শাসকদের বিরত করার জন্য বাঙালি হিন্দু নেতারা একের পর এক চাপ প্রয়োগ করতে থাকে। প্রকৃতপক্ষে ১৯০৫ এর বঙ্গভঙ্গ ছিল ব্রিটিশদের ‘ভাগ করো, শাসন করো' নীতির অন্যতম বহিঃপ্রকাশ ।

স্বাধিকার আন্দোলন

বাঙালিরা বিনা প্রতিবাদে ইংরেজ শাসকদের কখনোই মেনে নেয় নি । গোটা ইংরেজ শাসনামল জুড়ে বাংলা ও ভারতে নানা প্রতিরোধ আন্দোলন হয়েছে। এর মধ্যে সর্বাগ্রে আসে ১৮৫৭ সালের সিপাহী বিদ্রোহের কথা । সিপাহী বিদ্রোহ ছিল ব্রিটিশ বিরোধী প্রথম স্বাধীনতা সংগ্রাম । দীর্ঘ সময় ধরে ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি কর্তৃক অর্থনৈতিক, রাজনৈতিক শোষণ, সামাজিক, সাংস্কৃতিক বঞ্চনা, নির্যাতন, ধর্মীয় অনুভূতিতে আঘাত এবং সর্বোপরি ভারতীয় সৈন্যদের প্রতি বৈষম্যমূলক আচরণ এই বিদ্রোহের প্রেক্ষাপট হিসাবে কাজ করেছে। বাংলায় সিপাহি মঙ্গল পান্ডে ও হাবিলদার রজব আলী এ বিদ্রোহে নেতৃত্ব দেন। সিপাহিদের এই বিদ্রোহে ভারতবর্ষের অন্যান্য অঞ্চলের স্বাধীনচেতা শাসকরাও যোগ দেয়। ঝাঁসির রানি লক্ষ্মীবাই, মহারাষ্ট্রের তাঁতিয়া টোপি এরকমই কয়েকজন । দিল্লির বাদশাহ বাহাদুর শাহ জাফরও এদের সমর্থন জানিয়েছিলেন।

১৯০৫ এর বঙ্গভঙ্গকে কেন্দ্র করে গোটা বাংলায় নানা আন্দোলন শুরু হয় । এর মধ্যে রয়েছে- স্বদেশী আন্দোলন, বয়কট আন্দোলন, স্বরাজ এবং সশস্ত্র আন্দোলন । স্বদেশী আন্দোলনের মধ্য দিয়ে বিলেতি পণ্য, শিক্ষা বর্জন এবং দেশীয় পণ্য, শিক্ষা প্রচলনের মতো আরো নানাবিধ কর্মসূচি নেয়া হয় । এসব আন্দোলনের মধ্য দিয়ে এ দেশের অধিকাংশ মানুষের মধ্যে দেশপ্রেম জেগে উঠে এবং তারা ঐক্যবদ্ধ হয়। শিক্ষিত যুব সম্প্রদায়ের মধ্যে গড়ে ওঠে সশস্ত্র বিপ্লবী আন্দোলন । গড়ে ওঠে যুগান্তর ও অনুশীলন সমিতির মতো বিপ্লবী সংগঠন। সশস্ত্র এই বিপ্লবী তৎপরতা ১৯৩০ এর দশক পর্যন্ত টিকে ছিল। বিপ্লবীদের মধ্যে রয়েছেন ক্ষুদিরাম, বাঘা যতীন, , মাষ্টারদা সূর্যসেন, প্রীতিলতা ওয়াদ্দেদার প্রমুখ। তাঁরা প্রত্যেকেই দেশের জন্য আত্মাহুতি দিয়েছিলেন। প্রীতিলতা ছিলেন ব্রিটিশ বিরোধী আন্দোলনের প্রথম নারী শহিদ । পাশাপাশি বাংলাসহ ভারতব্যাপী জাতীয় পর্যায়ে চলেছিল নানাবিধ নিয়মতান্ত্রিক ও জাতীয়তাবাদী আন্দোলন । এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হচ্ছে অসহযোগ আন্দোলন, খেলাফত আন্দোলন, ভারত ছাড় আন্দোলন ইত্যাদি । জাতীয় পর্যায়ের এসব আন্দোলনে যুক্ত বাঙালি নেতাদের মধ্যে উল্লেখযোগ্য কয়েকজন হলেন নেতাজি সুভাষ বসু, দেশবন্ধু চিত্তরঞ্জন দাস, হোসেন শহীদ সোহরাওয়ার্দী, শের-ই-বাংলা এ.কে. ফজলুল হক প্রমুখরা । মনে রাখতে হবে, অন্যান্য কারণ থাকলেও নানা ধরনের ধারাবাহিক এসব আন্দোলন ও সংগ্রামের চাপেই ব্রিটিশরা এদেশ ত্যাগ করতে বাধ্য হয়েছিল ।

প্রধানত সেট দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা: (১) তালিকা পদ্ধতি (Tabular Method) (2) সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)

(১) তালিকা পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা’ ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে পৃথক করা হয় । যেমন : A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}, C = {100}, D = {গোলাপ, রজনীগন্ধা}, E = {রহিম, সুমন, শুভ্র, চাংপাই} ইত্যাদি।

(২) সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত দেওয়া থাকে । যেমন : 10 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {x : x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা, x < 10} 

এখানে, ‘:’ দ্বারা ‘এরূপ যেন' বা সংক্ষেপে ‘যেন’ বোঝায় । সেট গঠন পদ্ধতিতে { } এর ভেতরে ' : ' চিহ্নের আগে একটি অজানা রাশি বা চলক ধরে নিতে হয় এবং পরে চলকের ওপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ করতে হয়। যেমন: { 3, 6, 9, 12 } সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে চাই । লক্ষ করি, 3, 6, 9, 12, সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং 12 এর বড় নয় । এক্ষেত্রে সেটের উপাদানকে 'y' চলক বিবেচনা করলে 'y' এর ওপর শর্ত হবে y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং 12 এর চেয়ে বড় নয় () ≤ 12)। সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতিতে হবে {y: y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং y ≤ 12}।

উদাহরণ ২। P = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর । 

সমাধান : P সেটের উপাদানসমূহ 4, 8, 12, 16, 20 

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং 20 এর বড় নয়। 

∴  P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}

উদাহরণ ৩। Q = {x : x, 42 এর সকল গুণনীয়ক} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : Q সেটটি 42 এর গুণনীয়কসমূহের সেট।

∴ 42 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

বাংলা তথা ভারতব্যাপী জাতীয়তাবাদী আন্দোলনের ব্যাপক প্রসারে ভীত ইংরেজ শাসকরা শাসনতান্ত্রিক নীতি ও কর্মকান্ডে নানাভাবে 'ভাগ করো, শাসন করো' নীতির প্রয়োগ ঘটাতে থাকে । ইতোপূর্বে বঙ্গভঙ্গকে কেন্দ্র করে বাংলার হিন্দু-মুসলমান নেতৃত্বের মধ্যে যে বিভেদের সৃষ্টি হয়েছিল তা ইংরেজদের প্ররোচনায় ক্রমশঃ প্রত্যক্ষ রাজনৈতিক দ্বন্দ্বের রূপ নিতে থাকে । উল্লেখ্য যে, এক্ষেত্রে ভারতীয় জাতীয় কংগ্রেস এবং মুসলিম লীগের উচ্চবিত্ত অবাঙালি হিন্দু ও মুসলমান নেতৃবৃন্দের ক্ষমতাকেন্দ্রিক স্বার্থবুদ্ধিও অনেকটা দায়ী ছিল । ফলে চলমান জাতীয়তাবাদী রাজনীতিতে ধর্মীয় তথা সাম্প্রদায়িক মেরুকরণ ঘটতে থাকে । ক্রমশঃ কংগ্রেস হিন্দু সম্প্রদায়ের এবং মুসলিম লীগ মুসলমানদের রাজনৈতিক দল হিসাবে পরিগণিত হতে থাকে, যদিও কংগ্রেসে মওলানা আবুল কালাম আজদের মতো অনেক বড় মাপের মুসলমান নেতা ছিলেন । যাহোক বিভেদের রাজনীতির ফলে হিন্দু, মুসলমান নেতা ও সম্প্রদায়ের মানুষের মধ্যে লাহোর প্রস্তাবের ধারণাই কাজ করতে থাকে । ১৯৪০ সালে উত্থাপিত লাহোর প্রস্তাবে ভারতের সংখ্যাগরিষ্ঠ মুসলমান অধ্যুষিত এলাকাগুলো নিয়ে রাষ্ট্রসমূহ গঠনের কথা বলা হয়েছিল । লাহোর প্রস্তাব সংশোধন করে পাকিস্তান প্রস্তাব গ্রহণ করা হয়, যার ভিত্তিতে ১৯৪৭ সালে ভারতবর্ষ ভাগ হয়ে ভারত ও পাকিস্তান নামে দু'টি স্বাধীন রাষ্ট্র প্রতিষ্ঠা হয় । সেই সাথে অবসান ঘটে প্রায় দু'শ বছরের ইংরেজ শাসনের । ভারত বিভক্তির সাথে সাথে বাংলাও দু'টি ভাগে বিভক্ত হয়- মুসলমান সংখ্যাগরিষ্ঠ পূর্ব-বাংলা পাকিস্তানের সাথে যুক্ত হয়; আর হিন্দু সংখ্যাগরিষ্ঠ পশ্চিম-বাংলা ভারতের সাথে যুক্ত হয়। তবে এভাবে বাংলা ভাগ করাকে বাংলার কংগ্রেস ও মুসলিম লীগের হিন্দু, মুসলমান নেতারা একইভাবে মেনে নেন নি । শরৎ বসু ও হোসেন শহীদ সোহরাওয়ার্দী চেষ্টা করেছিলেন অখন্ড বাংলা রাষ্ট্র প্রতিষ্ঠার, কিন্তু সে প্রচেষ্টা সফল হয় নি ব্রিটিশ অধীনতা থেকে মুক্তি পেলেও তা পূর্ব-বাংলার জনগণের প্রকৃত স্বাধীনতা হয়ে উঠতে পারে নি ।

পাকিস্তানের শাসকগোষ্ঠী পূর্ব-বাংলার জনগণের উপর পরাধীনতা চাপিয়ে দেয়। প্রকৃতপক্ষে ১৯৪৭ সালের ১৪ই আগস্টের পর থেকেই পূর্ব-বাংলার জনগণকে প্রকৃত স্বাধীনতার জন্যে নতুন করে আন্দোলন শুরু করতে হয়।

কাজ-১ : বাংলায় সমাজ সংস্কারক ১০ জন মনীষীর নাম উল্লেখ করো।

কাজ-২ : বাংলায় নবজাগরণে কোন কোন প্রতিষ্ঠান গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে?

কাজ-৩ : বঙ্গভঙ্গ রদের কারণ ব্যাখ্যা করো।

কাজ-৪ : ভারত বিভক্তির কারণ ব্যাখ্যা করো।

সসীম সেট 

(Finite set) যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, একে সসীম সেট বলে। যেমন A = {a, b, c, d}, B = { 5, 10, 15, 100} ইত্যাদি সসীম সেট। এখানে A সেটে 4টি উপাদান এবং B সেটে 20 টি উপাদান আছে।

অসীম সেট (Infinite set)

সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে । অসীম সেটের একটি উদাহরণ হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N = {1, 2, 3, 4, ...} । এখানে, N সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না । এই শ্রেণিতে শুধু সসীম সেট নিয়ে আলোচনা করা হবে।

ফাঁকা সেট (Empty set)

যে সেটের কোনো উপাদান নেই একে ফাঁকা সেট বলে । ফাঁকা সেটকে X প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

জন ভেন (১৮৩৪-১৮৮৩) চিত্রের সাহায্যে সেট প্রকাশ করার রীতি প্রবর্তন করেন। এই চিত্রগুলো তাঁর নামানুসারে ভেনচিত্র নামে পরিচিত। ভেনচিত্রে সাধারণত আয়তাকার ও বৃত্তাকার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়। নিচে কয়েকটি সেটের ভেনচিত্র প্রদর্শন করা হলো :

ভেনচিত্র ব্যবহার করে অতি সহজে সেট ও সেট প্রক্রিয়ার বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য যাচাই করা যায়।

মনে করি, A = {a, b} একটি সেট। A সেটের উপাদান নিয়ে আমরা {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো গঠন করতে পারি। গঠিত {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো A সেটের উপসেট। কোনো সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় এদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট।

যেমন : P = {2, 3, 4, 5} এবং Q = {3,5} হলে, Q সেটটি P সেটের উপসেট। অর্থাৎ Q ⊆ P. কারণ Q সেটের 3 এবং 5 উপাদানসমূহ P সেটে বিদ্যমান। '2' প্রতীক দ্বারা উপসেটকে সূচিত করা হয়।

উদাহরণ ৪। A = {1, 2, 3} এর উপসেটসমূহ লেখ।

সমাধান : A সেটের উপসেটসমূহ নিম্নরূপ :

{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Ø

সার্বিক সেট (Universal Set)

আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে এর উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে U প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন: কোনো বিদ্যালয়ের সকল শিক্ষার্থীর সেট হলো সার্বিক সেট এবং অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের সেট উক্ত সার্বিক সেটের উপসেট।

উদাহরণ ৫। A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5,} C = { 3, 4, 5, 6} হলে, সার্বিক সেট নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, C = { 3, 4, 5, 6, }

এখানে, B সেটের উপাদান 1, 3, 5 এবং C সেটের উপাদান 3, 4, 5, 6 যা A সেটে বিদ্যমান। 

∴ B এবং C সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট A

পূরক সেট (Complement of a set)

যদি U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট হয় তবে, A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে যে সেট গঠন করা হয়, একে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে A বা A' দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, অষ্টম শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 9 জন অনুপস্থিত। অষ্টম শ্রেণির সকল শিক্ষার্থীদের সেট সার্বিক সেট বিবেচনা করলে উপস্থিত (60–9) বা 51 জনের সেটের পূরক সেট হবে অনুপস্থিত 9 জনের সেট।

উদাহরণ ৬। U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A = {2, 4, 6} হলে A নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A = {2, 4, 6,}

∴ A^c = A এর পূরক সেট

        = A এর বহির্ভূত উপাদানসমূহের সেট

        = {1, 3, 5}

সংযোগ সেট (Union of Sets)

মনে করি, P = {2, 3, 4} এবং Q = {4, 5, 6}. এখানে P এবং Q সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদানসমূহ 2, 3, 4, 5, 6 P ও Q সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেট {2, 3, 4, 5, 6, যা P ও Q সেটদ্বয়ের সংযোগ সেট।

দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়।

ধরি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর সংযোগ সেটকে AUB দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A সংযোগ B অথবা ' A union B.

সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∪ B = {x : x e A অথবা x ∈ B}

উদাহরণ ৭। C = {রাজ্জাক, সাকিব, অলোক} এবং D = {অলোক, মুশফিক} হলে, CUD নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, C {রাজ্জাক, সাকিব, অলোক} এবং D = {অলোক, মুশফিক}

∴ C ∪ D = {রাজ্জাক, সাকিব, অলোক} ∪ {অলোক, মুশফিক}

              = {রাজ্জাক, সাকিব, অলোক, মুশফিক}

উদাহরণ ৮। R = {x : x, 6-এর গুণনীয়কসমূহ} এবং S = {x : x,8-এর গুণনীয়কসমূহ } হলে, RUS নির্ণয় কর।

সমাধান : 

দেওয়া আছে, R = {x : x, 6-এর গুণনীয়কসমূহ}

                         = {1, 2, 3, 6}

    এবং S = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

               = {1, 2, 4, 8}

∴ R ∪ S = {1, 2, 3, 6} ∪ {1, 2, 4, 8}

             = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

ছেদ সেট (Intersection of sets)

মনে করি, রিনা বাংলা ও আরবি ভাষা পড়তে ও লিখতে পারে এবং জয়া বাংলা ও হিন্দি ভাষা পড়তে ও লিখতে পারে। রিনা যে ভাষা পড়তে ও লিখতে পারে এদের সেট {বাংলা, আরবি} এবং জয়া যে ভাষা পড়তে ও লিখতে পারে এদের সেট {বাংলা, হিন্দি}। লক্ষ করি, রিনা ও জয়া প্রত্যেকে যে ভাষা পড়তে ও লিখতে পারে তা হচ্ছে বাংলা এবং এর সেট {বাংলা}। এখানে {বাংলা} সেটটি ছেদ সেট।

দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ (Common) উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলা হয়।

ধরি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর ছেদ সেটকে AB দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B. সেট গঠন পদ্ধতিতে AB = {x : x ∈ A এবং x ∈ B }

উদাহরণ ৯।  A = {1, 3, 5} এবং B = {5, 7} হলে, A ∩ B নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {1, 3, 5} এবং B = {5, 7}

∴ A ∩ B = {1, 3, 5} ∩ {5, 7} = {5}

উদাহরণ ১০। P = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x≤ 8} এবং Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে, p ∩ g নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x 2 8}

                                        = {2, 4, 6, 8}

                            এবং Q = {x : x, 4 এর গুণিতক x ≤ 12}

                                        = {4, 8, 12}

                            ∴  P ∩ g = {2, 4, 6, 8} \ {4, 8, 12} = {4, 8}

নিশ্ছেদ সেট (Disjoint sets)

মনে করি, বাংলাদেশের পাশাপাশি দুইটি গ্রাম। একটি গ্রামের কৃষকগণ জমিতে ধান ও পাট চাষ করেন এবং অপর গ্রামের কৃষকগণ জমিতে আলু ও সবজি চাষ করেন। চাষকৃত ফসলের সেট দুইটি বিবেচনা করলে পাই {ধান, পাট} এবং {আলু, সবজি} । উক্ত সেট দুইটিতে ফসলের কোনো মিল নেই। অর্থাৎ, দুই গ্রামের কৃষকগণ একই জাতীয় ফসল চাষ করেন না। এখানে সেট দুইটি পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।

যদি দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, তবে সেট দুইটি পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।

ধরি, A ও B দুইটি সেট। A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে যদি A ∩ B= Ø হয়।

দুইটি সেটের ছেদ সেট ফাঁকা সেট হলে সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।

উদাহরণ ১১। A={x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1

                                         = {3,5}

                              এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

                                         = {1, 2, 4, 8}

                                ∴ AB = {3, 5} ∩ {1, 2, 4, 8}

                                         = ∅

∴ A ও B সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।

উদাহরণ ১২ । C = {3, 4, 5} এবং D = {4, 5, 6} হলে, C ∪ D এবং C ∩ D নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, C = { 3, 4, 5} এবং D = {4, 5, 6,}

∴ C U D = {3, 4, 5} {4, 5, 6} = {3, 4, 5, 6,}

এবং C ∩ D = {3, 4, 5} {4, 5, 6} = {4, 5}

উদাহরণ ১৩। E = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 30} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : নির্ণেয় সেটটি হবে 30 অপেক্ষা ছোট মৌলিক সংখ্যাসমূহের সেট।

এখানে, 30 অপেক্ষা ছোট মৌলিক সংখ্যাসমূহ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

নির্ণেয় সেট = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

উদাহরণ ১৪। A ও B যথাক্রমে 42 ও 70 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, AGB নির্ণয় কর।

সমাধান :

এখানে, 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14=6 x 7

42 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

∴ A= {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

আবার, 70 = 1 × 70 = 2 × 35 = 5 × 14 = 7 × 10

70 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

∴ B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

∴ AB = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} = {1, 2, 7, 14}