On This Page

কার্ল

পদার্থবিদ্যা - পদার্থবিজ্ঞান – ১ম পত্র - কার্ল

যদি কোনো স্থানের একটি এলাকায় প্রতিটি বিন্দুতে $\vec{V}$ (x, y, z) = $\hat{i} V_{x} + \hat{j} V_{y} + \hat{k} V_{z}$ কে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় অর্থাৎ $\vec{V}$ যদি একটি অন্তরীকরণযোগ্য ভেক্টর অপেক্ষক হয়, তাহলে $\vec{V}$ এর কার্ল

(curl $\vec{V}$ ) বা $\vec{△} \times \vec{V}$ এর সংজ্ঞা হলো :

$\vec{△} \times \vec{V} = (\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} - \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}) \times (\hat{i} V_{x} + \hat{i} V_{y} + \hat{i} V_{z}) \vec{△} \times \vec{V} = |\frac{\overset{\hat{i}}{\partial}}{\underset{V_{x}}{\partial}} \frac{\overset{\hat{j}}{\partial}}{\underset{V_{y}}{\partial}} \frac{\overset{\hat{k}}{\partial}}{\underset{V_{z}}{\partial}}| = (\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial V_{x}}{\partial z} - \frac{\partial V_{z}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial V_{y}}{\partial x} - \frac{\partial V_{x}}{\partial y}) \hat{k} . .$ ... (2.33)

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি। এ ভেক্টরটির দিক ঐ ক্ষেত্রের উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর। এটি ঐ ক্ষেত্রের ঘূর্ণন ব্যাখ্যা করে। কোনো বিন্দুর চারদিকে ভেক্টরটি কতবার ঘোরে কার্ল তা নির্দেশ করে। যদি কোনো ভেক্টরের কার্ল শূন্য হয় তবে এটি অঘূর্ণনশীল (irrotational) হবে। অর্থাৎ $\vec{△} \times \vec{V}$ = $\vec{0}$ হলে $\vec{V}$ ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল এবং সংরক্ষণশীল আর $\vec{△} \times \vec{V}$ = $\vec{0}$ হলে $\vec{V}$ ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল এবং অসংরক্ষণশীল । রৈখিক বেগ $\vec{v}$ এর কার্ল কৌণিক বেগ $\vec{ω}$ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ $\vec{△} \times \vec{v}$ = 2 $\vec{ω}$ । কোনো ভেক্টরের কার্লের মান ঐ ভেক্টরের ক্ষেত্রে একক ক্ষেত্রফলের উপর সর্বোচ্চ রেখা যোগজের সমান। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য অর্থাৎ ( $\vec{△} \times \vec{V}$ )= 0 l