প্রশ্ন: $y^2=-4 x$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব ও নিয়ামকের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?

প্রদত্ত সমীকরণ y² = -4x একটি প্যারাবোলা প্রতিনিধিত্ব করে যা বাম দিকে খোলে, উৎপত্তিস্থলে শীর্ষবিন্দু (0,0)।

প্যারাবোলার উপকেন্দ্র (অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু) এবং শাসকের মধ্যে লম্ব দূরত্ব খুঁজে পেতে, আমাদের শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে। এটি একটি প্যারাবোলার সমীকরণের আদর্শ ফর্মটি স্বীকৃতি দিয়ে করা যেতে পারে:

y = a(x - h)² + k

যেখানে (h, k) প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু। প্রদত্ত সমীকরণের সাথে এটি তুলনা করে, আমরা দেখতে পারি যে h = 0 এবং k = 0। অতএব, শীর্ষবিন্দুটি (0, 0) এ রয়েছে।

এর পরে, আমাদেরকে সেই রেখার সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে যা শাসকের প্রতিনিধিত্ব করে। অতিরিক্ত তথ্য ছাড়া, আমরা শাসকের সঠিক সমীকরণ নির্ধারণ করতে পারি না। যাইহোক, আমরা অনুমান করতে পারি যে শাসক হল একটি উল্লম্ব রেখা যার একটি x-ইন্টারসেপ্ট কিছু মান c, যেখানে c একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং, শাসকের সমীকরণটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

x = c

শীর্ষবিন্দু এবং শাসকের মধ্যে লম্ব দূরত্ব খুঁজে পেতে, আমাদের প্যারাবোলার বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে যা শাসককে ছেদ করে। এই বিন্দুতে c-এর সমান একটি x-স্থানাঙ্ক থাকবে।

প্যারাবোলার সমীকরণে x = c প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

y² = -4c

উভয় পক্ষের বর্গমূল নিলে আমরা পাই:

y = ±2√(-c)

যেহেতু শীর্ষবিন্দুটি (0, 0) আছে, তাই প্যারাবোলার বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক যা শাসককে ছেদ করে তা হল y-এর পরম মান:

y = 2√(-c)

শীর্ষবিন্দু এবং শাসকের মধ্যে লম্ব দূরত্ব হল প্যারাবোলার বিন্দুর x-স্থানাঙ্কের পরম মান যা শাসককে ছেদ করে:

d = |c|

অতএব, প্যারাবোলার কেন্দ্রস্থল এবং শাসকের মধ্যে লম্ব দূরত্ব শাসকের x-ইন্টারসেপ্টের পরম মানের সমান, যা c মান দ্বারা উপস্থাপিত হয়। আমরা শাসক সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য ছাড়া c এর সঠিক মান নির্ধারণ করতে পারি না।