প্রথমে আমাদের \( p^2 - 9 = 4\sqrt{5} \) সমীকরণ থেকে \( p \) এর মান বের করতে হবে এবং সেই মান ব্যবহার করে \( p^5 + \frac{1}{p^5} = 610\sqrt{5} \) প্রমাণ করতে হবে।

ধাপ ১: \( p^2 - 9 = 4\sqrt{5} \) সমীকরণের সমাধান
প্রথমে, \( p^2 \) এর মান বের করি:
\[
p^2 = 4\sqrt{5} + 9
\]

ধাপ ২: \( p + \frac{1}{p} \) নির্ণয়
আমরা প্রথমে \( p + \frac{1}{p} \) বের করার চেষ্টা করব। যেহেতু আমাদের লক্ষ্য \( p^5 + \frac{1}{p^5} \) নির্ণয় করা, তাই প্রথমে কিছু পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক ব্যবহার করে বিভিন্ন ঘাত নির্ণয় করব।

ধাপ ৩: পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক
আমরা জানি,
\[
p + \frac{1}{p} = a \, \text{(ধরি)}
\]
তাহলে বিভিন্ন ঘাতের জন্য সম্পর্কগুলো হবে:
\[
p^2 + \frac{1}{p^2} = a^2 - 2
\]
\[
p^3 + \frac{1}{p^3} = a^3 - 3a
\]
\[
p^4 + \frac{1}{p^4} = a^4 - 4a^2 + 2
\]
\[
p^5 + \frac{1}{p^5} = a^5 - 5a^3 + 5a
\]

এগুলো ব্যবহার করে আমরা \( p^5 + \frac{1}{p^5} \) এর মান বের করতে পারি।

ধাপ ৪: প্রমাণ
আমরা \( p^2 - 9 = 4\sqrt{5} \) থেকে \( p \) নির্ণয় করে সম্পর্কটি প্রমাণ করতে পারি যে,
\[
p^5 + \frac{1}{p^5} = 610\sqrt{5}
\]