পৈসুঁবিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

পৈসুঁবিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক \( P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \) উদ্ভাবন করতে বার্ণেৌলি বিন্যাস এবং সীমার ধারণা ব্যবহার করা হয়। পৈসুঁবিন্যাসের মূল ধারণা হলো, বিরল ঘটনাগুলির জন্য দ্বিপদী বিন্যাস থেকে এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয়।

ধাপ ১: দ্বিপদী বিন্যাসের সূত্র

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা সূত্র:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

যেখানে:

• \( n \): মোট পরীক্ষা সংখ্যা।
• \( k \): সফলতার সংখ্যা।
• \( p \): সফলতার সম্ভাবনা।
• \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \): কম্বিনেশন।

ধাপ ২: বিরল ঘটনা এবং পৈসুঁবিন্যাসের প্রেক্ষাপট

পৈসুঁবিন্যাসের জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলো বিবেচনা করা হয়:

1. \( n \) বড় এবং \( p \) ছোট (যাতে \( n \cdot p = \lambda \) ধ্রুবক থাকে)।
2. সফলতার সম্ভাবনা \( p = \frac{\lambda}{n} \)।
3. \( n \) বেড়ে গেলে দ্বিপদী বিন্যাস পৈসুঁবিন্যাসে রূপান্তরিত হয়।

ধাপ ৩: সূত্রে রূপান্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে \( P(X = k) \) এর মান:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}
\]

\( \binom{n}{k} \) এর প্রসারণ:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

\( \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \) যোগ করা:

\[
P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}
\]

ধাপ ৪: সীমার ধারণা প্রয়োগ

যখন \( n \to \infty \):

1. \( \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda} \)।
2. \( \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \to 1 \), কারণ \( k \) একটি ছোট পূর্ণসংখ্যা।
3. \( \frac{n!}{(n-k)!} \to n^k \), কারণ \( n \) বড়।

তাহলে, \( P(X = k) \) এর সীমা দাঁড়ায়:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

ধাপ ৫: চূড়ান্ত অপেক্ষক

তাহলে, পৈসুঁবিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক হয়:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

উদাহরণ

ধরা যাক, প্রতি মিনিটে একটি ফোন সেন্টারে গড়ে ৩টি কল আসে (\( \lambda = 3 \))। ২টি কল আসার সম্ভাবনা গণনা করতে:

\[
P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!}
\]

এখানে:

• \( e^{-3} \approx 0.0498 \),
• \( 3^2 = 9 \),
• \( 2! = 2 \)।

তাহলে:
\[
P(X = 2) = \frac{0.0498 \cdot 9}{2} = 0.224
\]

অর্থাৎ, ২টি কল আসার সম্ভাবনা ২২.৪%।

সারসংক্ষেপ

পৈসুঁবিন্যাসের অপেক্ষক বার্ণেৌলি বিন্যাস থেকে রূপান্তরিত হয়, যেখানে \( n \to \infty \) এবং \( p \to 0 \), কিন্তু \( n \cdot p = \lambda \) ধ্রুবক থাকে। এর মাধ্যমে বিরল ঘটনার মডেলিং সহজ হয়।