সেট ও ফাংশন

সেটের ধারণা ও ব্যবহার গণিতে বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ। এ জন্য অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইতে সেট সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে তার বিস্তৃতি হিসেবে আরো আলোচনা করা হলো।

বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট বলা হয়। যেমন S = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} তালিকাটি 10 থেকে বড় নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট। সেটকে এভাবে তালিকার সাহায্যে বর্ণনা করাকে তালিকা পদ্ধতি বলা হয়। যে সকল বস্তু নিয়ে সেট গঠিত এদের প্রত্যেককে ঐ সেটের উপাদান বলা হয়।$x,A$ সেটের উপাদান হলে লেখা হয় $x\in A$ এবং $x,A$ সেটের উপাদান না হলে লেখা হয়$x\notin A$। উপরোক্ত সেট S কে লেখা যায় S = {x : x, 100 থেকে বড় নয় এমন পূর্ণবর্গ সংখ্যা}। এই পদ্ধতিকে সেট গঠন পদ্ধতি বলা হয়।

মনে করি
S= {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং 5x ≤ 16} 

T={x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $x^2$$<20$}

P={x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $\sqrt{x}\le 2$} 

এই সেট তিনটির উপাদানসমূহ U ={x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} সেটটির উপাদান নিয়ে গঠিত। U  কে S, T, P সেটের জন্য সার্বিক সেট বিবেচনা করা যায়।
সেট সংক্রান্ত কোনো আলোচনায় একটি নির্দিষ্ট সেটকে সার্বিক সেট বলা হয়, যদি আলোচনাধীন সকল সেটের উপাদানসমূহ ঐ নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়।

N = {1, 2, 3, · · · } অর্থাৎ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট।
Z = {· · · · −2, −1, 0, 1, 2, 3,....... } অর্থাৎ সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট।
Q = {$x:x=\frac{p}{q}$, যেখানে p যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা এবং q যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} অর্থাৎ q সকল মূলদ সংখ্যার সেট।
R = {x : x বাস্তব সংখ্যা} অর্থাৎ সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।

A ও B সেট হলে A কে B এর উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি A এর প্রত্যেক উপাদান B এর উপাদান হয় এবং একে $A\subseteq B$ লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন A {2, 3}, B = {2, 3, 5, 7} এর উপসেট। A, B এর উপসেট না হলে $A⊈B$ লেখা হয়। যেমন A = {1,3}, B = {2, 3, 5, 7} এর উপসেট নয়।

উদাহরণ ১. যদি A = {$x:x$ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}, B = {0} এবং X = {$x:x$ পূর্ণ সংখ্যা} হয়, তবে A, B এবং X এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

সমাধান: এখানে $A\subseteq X, B\subseteq X, B\subseteq A$

অনেক সময় এরূপ সেট বিবেচনা করতে হয় যাতে কোনো উপাদান থাকে না। এরূপ সেটকে ফাঁকা সেট বলা হয় এবং Ø অথবা {} লিখে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ ২. {$x:x$ বাস্তব সংখ্যা এবং $x^2<0$} একটি ফাঁকা সেট, কেননা কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়।

উদাহরণ ৩. F = {$x:x$, ২০১৪ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ বিজয়ী আফ্রিকার দেশ} একটি ফাঁকা সেট, কেননা আফ্রিকার কোনো দেশই ২০১৪ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ জয় করতে পারেনি।

A ও B সেট যদি এমন হয় যে এদের উপাদানগুলো একই তবে A ও B একই সেট এবং তা A = B লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}। লক্ষ কর কোনো সেটে একই উপাদান বার বার থাকলেও সেটা একবার থাকার মতই বিবেচনা করা হচ্ছে। A = B হয় যদি ও কেবল যদি $A\subseteq B$এবং $B\subseteq A$ হয়। সেট সমতা প্রমাণে এই তথ্য খুবই প্রয়োজনীয়।

A কে B এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি $A\subseteq B$ এবং $A\ne V$। অর্থাৎ A এর প্রত্যেক উপাদান B এরও উপাদান এবং B তে অন্তত একটি উপাদান আছে যা A তে নেই। যেমন A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} । A, B এর প্রকৃত উপসেট বুঝাতে $A\subset B$ লেখা হয়।

ক) যেকোনো সেট A এর জন্য $A\subseteq A$। এর কারণ x ∈ A ⇒ x ∈ A

খ) যেকোনো সেট A এর জন্য $\varnothing \subseteq A$। এর কারণ $\varnothing \subseteq A$ না হলে $\varnothing$ তে একটি উপাদান আছে যা A তে নাই। কিন্তু ইহা কখনই সত্য নয় কারণ Ø ফাঁকা সেট। অতএব $\varnothing \subseteq A$| উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

A ও B সেট হলে A \ B সেটটি হচ্ছে {x : x ∈ A এবং x $\notin$ B }
A \ B কে A বাদ B সেট বলা হয় এবং A এর যে সকল উপাদান B তে আছে সেগুলো A থেকে বর্জন করে A\ B গঠন করা হয়।$A\backslash B\subseteq A$

উদাহরণ ৪. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} এবং B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} হলে A \ B = {1, 3, 5, 7, 9} ।

সার্বিক সেট U এবং$A\subseteq U$ হলে A এর পূরক সেট হচ্ছে U \ A
অর্থাৎ U \ A = {$x:x\in U$ এবং $x\notin A$} ।
সার্বিক সেট থেকে A সেটের উপাদানগুলো বর্জন করলেই A এর পূরক সেট পাওয়া যায় এবং তাকে $A\text{'}$ বা $A^c$ লিখে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ ৫. যদি সার্বিক সেট U সকল পূর্ণসংখ্যার সেট হয় এবং A সকল ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট হয়, তবে (U সাপেক্ষে) A এর পূরক সেট $A\text{'}$বা $A^c$ = {0, 1, 2, 3, ... }

A সেটের সকল উপসেটের সেটকে A এর শক্তি সেট বলা হয় এবং P(A) দ্বারা নির্দেশ করা হয়। উল্লেখ্য যে

Ø ⊆ A। কাজেই Ø, P(A) এরও উপাদান।

উদাহরণ ৬. A = {a, b} এবং B = {b, c} হলে দেখাও যে, $P\left(A\right)\cup P\left(B\right)\subseteq P\left(A\cup B\right)$

সমাধান: এখানে

            $$\begin{gathered} P\left(A\right)=\left\{\varnothing ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\}\right\}, P\left(B\right)=\left\{\varnothing ,\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{b,c\right\}\right\} \\ \therefore P\left(A\right)\cup P\left(B\right)=\left\{\varnothing ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\}\right\} \\ A\cup B=\left\{a,b,c\right\}, P\left(A\cup B\right)=\left\{\varnothing ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{a,c\right\},\left\{b,c\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\} \end{gathered}$$

 সুতরাং, $P\left(A\right)\cup P\left(B\right)\subseteq P\left(A\cup B\right)$

সেট সংক্রান্ত তথ্যাদি অনেক সময় চিত্রে প্রকাশ করা সুবিধাজনক। উদ্ভাবক John Venn (১৮৩৪ - ১৯২৩) এর নামানুসারে এরূপ চিত্রকে ভেনচিত্র বলা হয়। গণিত বইতে এ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে।

উদাহরণ ৭. সার্বিক সেট U এর সাপেক্ষে A সেট এর পূরক সেট A' এর চিত্ররূপ:

A ও B সেট হলে এদের সংযোগ সেট হচ্ছে $A\cup B$={$x:x\in A$ অথবা $x\in B$}। অর্থাৎ A ও B উভয় সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটই $A\cup B$|

A ও B সেট হলে এদের ছেদ সেট হচ্ছে $A\cup B=${$x:x\in A$ এবং $x\in B$}।

অর্থাৎ A ও B সেটের সকল সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটই An B

উদাহরণ ৮. সার্বিক সেট U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} এর দুইটি উপসেট  A = {x : x মৌলিক সংখ্যা} এবং B = {x : x বিজোড় সংখ্যা}।

তাহলে A = {2, 3, 5, 7} এবং B = {1, 3, 5, 7, 9}।

সুতরাং $A\cup B$ = {1, 2, 3, 5, 7, 9}, $A\cap B$ = {3, 5, 7},

$A\text{'}$= {0, 1, 4, 6, 8, 9}, $B\text{'}$ = {0, 2, 4, 6, 8},

$A\text{'}\cup B\text{'}$ = {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9}, $A\text{'}\cap B\text{'}$ = {0, 4, 6, 8},

$\left(A\cap B\right)\text{'}$= {0, 1, 2, 4, 6, 8, 9}, $\left(A\cup B\right)\text{'}$ = {0, 4, 6, 8} ।

যদি A ও B সেট এমন হয় যে $A\cap B$ = Ø, তবে A ও B কে নিশ্ছেদ সেট বলা হয়।

উদাহরণ ৯. A {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে A ও B সেটদ্বয় নিশ্ছেদ, কেননা $A\cap B=\varnothing$

উদাহরণ ১০.A = {$x:x\in R$ এবং $0\le x\le 2$} এবং B = {$x:x\in N$ এবং $0\le x\le 2$} হলে $B\subseteq A, A\cup B=A, A\cap B=B=\left\{1,2\right\}$।

দুইটি সেট A এবং B এর কার্তেসীয় গুণজ $A\times B$ = {$\left(x,y\right):x\in A$এবং$y\in B$}।

উদাহরণ ১১. A = {1, 2}, B = {a, b, c} দুইটি সেট। সুতরাং এই দুইটি সেটের কার্তেসীয় গুণজ সেট $A\times B=\left\{\left(1,a\right),\left(1,b\right),\left(1,c\right),\left(2,a\right),\left(2,b\right),\left(2,c\right)\right\}$ |

এখানে প্রত্যেক ক্ষেত্রে $U$ সার্বিক সেট এবং $A,B,C$ সেটগুলো $U$ এর উপসেট।

ক) বিনিময় বিধি
(১) $A\cup B=B\cup A$                                         (২) $A\cap B=B\cap A$

খ) সংযোগ বিধি
(১) $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$                    (২) $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$

গ) বন্টন বিধি
(১) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$          (২) An (BUC) = (AB) U (ANC)

ঘ) ডি মরগ্যানের সূত্র
(১) $\left(A\cup B\right)\text{'}=A\text{'}\cap B\text{'}$                                   (২) $\left(A\cap B\right)\text{'}=A\text{'}\cup B\text{'}$

ঙ) অন্যান্য সূত্র
(১) $A\cup A=A, A\cap A=A$                           (২) $A\cup \varnothing =A, A\cap \varnothing =\varnothing$ 

(৩) $A\cup U=U, A\cap U=A$                         (৪) $A\subseteq B\Rightarrow B\text{'}\subseteq A\text{'}$

(৫) $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$                              (৬) $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

(৭) $A\subseteq A\cup B$                                                (৮) $A\cap B\subseteq A$

(৯)$A\backslash B=A\cap B\text{'}$

নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cup B$ এবং $B\cup A$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে $A\cup B=B\cup A$। নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cap B$ এবং $B\cap A$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে $A\cap B=B\cap A$|

উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

মনে করি A = {1,2,4} এবং B = {2, 3, 5} দুইটি সেট।

তাহলে,  ।

আবার, ।

সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cup B=B\cup A$

অন্য দিকে, এবং ।

সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cap B=B\cap A$

নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cup \left(B\cup C\right)$ এবং $\left(A\cup B\right)\cup C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cup \left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C$। নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cap \left(B\cap C\right)$ এবং $\left(A\cap B\right)\cap C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$।

উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

মনে করি  এবং  ।

তাহলে, 

এবং $A\cup \left(B\cup C\right)=\{a,b,c,d\} \cup \{b,c,d,f,g\}=\{a,b,c,d,f,g\}$।

আবার, $A\cup B=\{a,b,c,d\} \cup \{b,c,f\}=\{a,b,c,d,f\}$

এবং $(A\cup B)\cup C=\{a,b,c,d,f\} \cup \{c,d,g\}=\{a,b,c,d,f,g\}$।

সুতরাং এক্ষেত্রে $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup (B\cup C)$।

আবার, $B\cap C=\{b,c,f\} \cap \{c,d,g\}=\left\{c\right\}$

এবং$A\cap (B\cap C)=\{a,b,c,d\} \cap \left\{c\right\}=\left\{c\right\}$ ।

আবার,$A\cap B=\{a,b,c,d\} \cap \{b,c,f\}=\{b,c\}$

এবং$\left(A\cap B\right)\cap C=\{b,c\} \cap \{c,d,g\}=\left\{c\right\}$।

সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।

প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য

ক) $\left(A\cup B\right)\text{'}=A\text{'}\cap B\text{'}$                 খ) $\left(A\cap B\right)\text{'}=A\text{'}\cup B\text{'}$

প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) মনে করি,$x\in \left(A\cup B\right)\text{'}$। তাহলে, $x\notin A\cup B$|

               $\Rightarrow x\notin A$এবং $x\notin B$ $\Rightarrow x\in A\text{'}$ এবং $x\in B\text{'} \Rightarrow x\in A\text{'}\cap B\text{'}$

$\therefore \left(A\cup B\right)\text{'}\subseteq A\text{'}\cap B\text{'}$

আবার মনে করি,$x\in A\text{'}\cap B\text{'}$। তাহলে, $x\in A\text{'}$ এবং $x\in B\text{'}$

               $\Rightarrow x\notin A$এবং$x\notin B\Rightarrow x\notin A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)\text{'}$

$\therefore A\text{'}\cap B\text{'}=(A\cup B)\text{'}$ 

সুতরাং $(A\cup B)\text{'}=A\text{'}\cap B\text{'}$।
 

প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট $U$ এর যেকোনো উপসেট $A$ ও $B$ এর জন্য $A\backslash B=A\cap B\text{'}$

প্রমাণ: মনে করি, $x\in A\backslash B$। তাহলে, $x\in A$ এবং $x\in B$।

                          $\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B\text{'} \Rightarrow x\in A\cap B\text{'}$

$\therefore A\backslash B\subseteq A\cap B\text{'}$।
 

আবার মনে করি, $x\in A\cap B\text{'}$। তাহলে, $x\in A$ এবং $x\in B\text{'}$।

                          $\Rightarrow x\in A$এবং $x\notin B \Rightarrow x\in A\backslash B$

$\therefore A\cap B\text{'}\subseteq A\backslash B$

সুতরাং, $A\backslash B=A\cap B\text{'}$
 

প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট $A,B,C$ এর জন্য

                     ক) $A\times \left(B\cap C\right)=\left(A\times B\right)\cap (A\times C)$

                      খ)$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
 

প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) সংজ্ঞানুসারে, $A\times (B\cap C)$

$=\{\left(x,y\right): x\in A, x\in B$ এবং $y\in C\}$

$=\{\left(x,y\right): \left(x,y\right)\in A\times B$ এবং $\left(x,y\right)\in A\times C\}$

$\therefore A\times (B\cap C)\subseteq \left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$

আবার, $\left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$

$=\{\left(x,y\right):\left(x,y\right)\in A\times B$ এবং $\left(x,y\right)\in A\times C\}$

$=\{\left(x,y\right): x\in A, y\in B$ এবং $x\in A, y\in C$$\}$

$\therefore \left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)\subseteq A\times \left(B\cap C\right)$

সুতরাং, $A\times \left(B\cap C\right)=\left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$।

সেট প্রক্রিয়া সংক্রান্ত আরো কতিপয় প্রতিজ্ঞা

ক) $A$ যেকোনো সেট হলে $A\subseteq A$।

খ) ফাঁকা সেট $\varnothing$ যেকোনো সেট $A$ এর উপসেট।

গ) $A$ ও $B$ যেকোনো সেট হলে $A=B$ হবে যদি ও কেবল যদি $A\subseteq B$ এবং $B\subseteq A$ হয়।

ঘ) যদি $A\subseteq \varnothing$ হয়, তবে $A=\varnothing$।

ঙ) যদি $A\subseteq B$ এবং $B\subseteq C$ তবে, $A\subseteq C$।

চ) $A$ ও $B$ যেকোনো সেট হলে, $A\cap B\subseteq A$ এবং $A\cap B\subseteq B$।

ছ) $A$ ও $B$ যেকোনো সেট হলে, $A\subseteq A\cup B$ এবং $B\subseteq A\cup B$।

প্রমাণ: কেবল দুইটি প্রতিজ্ঞার প্রমাণ দেওয়া হয়েছে। অন্যগুলো নিজে কর।

ঘ) দেওয়া আছে, $A\subseteq \varnothing$, আবার আমরা জানি, $\varnothing \subseteq A$। সুতরাং $A=\varnothing$ ।

ছ) সেট সংযোগের সংজ্ঞানুযায়ী, $A$ সেটের সকল উপাদান $A\cup B$ সেটে থাকে। সুতরাং উপসেটের সংজ্ঞানুযায়ী $A\subseteq A\cup B$। একই যুক্তিতে $B\subseteq A\cup B$।

মনে করি, A= {a,b,c} তিনজন লোকের সেট এবং B= {30, 40, 50} ঐ তিনজন লোকের  বয়সের সেট। অধিকন্তু মনে করি, a এর

বয়স 30 বছর, b এর বয়স 40 বছর এবং c এর বয়স 50 বছর। বলা যায় যে, A সেটের সাথে B সেটের এক-এক মিল আছে।

সংজ্ঞা ১ (এক-এক মিল). যদি A সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদান এবং B সেটের প্রতিটি

উপাদানের সাথে A সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা যায়, তবে তাকে A ও B এর মধ্যে এক-এক মিল বলা

হয়। A ও B এর মধ্যে এক-এক মিলকে সাধারণত $A\leftrightarrow B$ লিখে প্রকাশ করা হয় এবং A সেটের কোনো সদস্য $x$ এর সঙ্গে B

সেটের যেসদস্য $y$ এর মিল করা হয়েছে তা $x\leftrightarrow Y$ লিখে বর্ণনা করা হয়।

ধরি, A = {1,2,3} এবং B = {a, b, c} দুইটি সেট। নিচের চিত্রে A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপন করে দেখানো হলো:

সংজ্ঞা ২ (সমতুল সেট). যেকোনো সেট A ও B এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল $A\leftrightarrow B$ বর্ণনা করা যায়, তবে A ও B কে সমতুল সেট বলা হয়। A ও B কে সমতুল বোঝাতে $A~B$ লেখা হয়। $A~B$ হলে, এদের যেকোনো একটিকে অপরটির সাথে সমতুল বলা হয়। লক্ষণীয় যে, যেকোনো সেট A, B ও C এর জন্য

ক) $A~A$

খ) $A~B$ হলে $B~A$

গ) $A~B$ এবং $B~C$ হলে $A~C$

উদাহরণ ১২. দেখাও যে, A={1, 2, 3, · · ·, n} এবং B={1, 3, 5, · · ·, 2n – 1} সেটদ্বয় সমতুল, যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

সমাধান: A ও B সমতুল, কারণ সেট দুইটির মধ্যে নিচের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।

মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে  $A\leftrightarrow B:k\leftrightarrow 2k-1, k\in A$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়।

উদাহরণ ১৪. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N এবং জোড় সংখ্যার সেট A = {2, 4, 6, 2n, · } সমতুল।

সমাধান: N = {1, 2, 3, , n, . . . } ও A সমতুল সেট, কারণ N এবং A এর মধ্যে নিচের চিত্রের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।

মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে $N\leftrightarrow A:n\leftrightarrow 2n,n\in N$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়। 

দ্রষ্টব্য: ফাঁকা সেট কে নিজের সমতুল ধরা হয়। অর্থাৎ, ~

প্রতিজ্ঞা 8. প্রত্যেক সেট A তার নিজের সমতুল। অর্থাৎ, $A~A$

প্রমাণ: $A=\varnothing$ হলে, $A~A$ ধরা হয়। আর $A\ne \varnothing$ হলে প্রত্যেক সদস্য এর সঙ্গে তার নিজেকে মিল করে এক-এক মিল $A\leftrightarrow A:x\leftrightarrow x,x\in A$ স্থাপিত হয়। সুতরাং $A~A$।

প্রতিজ্ঞা ৫. A ও B সমতুল সেট এবং B ও C সমতুল সেট হলে A ও C সমতুল সেট।

প্রমাণ: যেহেতু $A~B$, সুতরাং $A$ এর প্রত্যেক সদস্য $x$ এর সঙ্গে $B$ এর একটি অনন্য সদস্য এর মিল করা যায়। আবার যেহেতু $B~C$, সুতরাং $B$ এর এই সদস্য $y$ এর সঙ্গে $C$ এর একটি অনন্য সদস্য $z$ এর মিল করা যায়। এখন $A$ এর সদস্য $x$ এর সঙ্গে $C$ এর সদস্য $z$ এর মিল করা হলে, $A$ ও $C$ সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপিত হয়। অর্থাৎ, $A~C$ হয়।

a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a $<$ b হলে

ক) $\left(a,b\right)=\left\{x\in R:a<x<b\right\}$  কে খোলা ব্যবধি (open interval) বলে।

খ) $[a,b]=\{x\in R:a\le x\le b\}$ কে বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) বলে।

গ) $(a,b]=\left\{x\in R:a<x\le b\right\}$ এবং $[a,b)=\{x\in R: a\le x<b\}$ কে যথাক্রমে খোলা-বদ্ধ ও বদ্ধ-খোলা ব্যবধি বলে।