প্রশ্নে দুটি বক্ররেখা দেওয়া হয়েছে:

1. \( y^2 = 4ax \) — এটি একটি ডানমুখী প্যারাবোলা।
2. \( x^2 = 4ay \) — এটি একটি উপরের দিকে মুখ করা প্যারাবোলা।

আমাদের এই দুটি বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

### ধাপ ১: বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দু নির্ণয়
প্রথমে, আমরা বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দুগুলো বের করব। আমরা সমীকরণ দুটি একে অপরের সমান করে সমাধান করব:

\[
y^2 = 4ax \quad \text{and} \quad x^2 = 4ay
\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই:

\[
x = \frac{y^2}{4a}
\]

এটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\[
\left(\frac{y^2}{4a}\right)^2 = 4ay
\]

\[
\frac{y^4}{16a^2} = 4ay
\]

\[
y^4 = 64a^3y
\]

\[
y(y^3 - 64a^3) = 0
\]

এখানে, \( y = 0 \) অথবা \( y^3 = 64a^3 \)।

যদি \( y = 0 \), তবে \( x = 0 \), যা একটি ছেদ বিন্দু: \( (0, 0) \)।

যদি \( y^3 = 64a^3 \), তাহলে \( y = 4a \)। তখন \( x = \frac{(4a)^2}{4a} = 4a \)। এই ছেদ বিন্দুটি হলো: \( (4a, 4a) \)।

### ধাপ ২: এলাকা নির্ণয়
এখন, \( (0, 0) \) এবং \( (4a, 4a) \) বিন্দুর মধ্যে এই দুটি বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এই এলাকা বের করার জন্য, আমরা \( x \)-এর জন্য ইন্টিগ্রাল করব প্যারাবোলার উপরের অংশ থেকে নিচের অংশের পার্থক্য নিয়ে।

- প্রথম প্যারাবোলার (ডানমুখী) সমীকরণ: \( y = \sqrt{4ax} \)।
- দ্বিতীয় প্যারাবোলার (উপরের দিকে মুখ করা) সমীকরণ: \( x = \sqrt{4ay} \rightarrow y = \frac{x^2}{4a} \)।

ক্ষেত্রফল:

\[
\text{Area} = \int_{0}^{4a} \left(\sqrt{4ax} - \frac{x^2}{4a}\right) \, dx
\]

### ধাপ ৩: ইন্টিগ্রাল সমাধান
\[
\text{Area} = \int_{0}^{4a} \left(2\sqrt{ax} - \frac{x^2}{4a}\right) \, dx
\]

আমরা এই ইন্টিগ্রালকে দুটি ভাগে ভাগ করে সমাধান করব:

\[
= \int_{0}^{4a} 2\sqrt{ax} \, dx - \int_{0}^{4a} \frac{x^2}{4a} \, dx
\]

প্রথম অংশ:

\[
\int_{0}^{4a} 2\sqrt{ax} \, dx = 2a \int_{0}^{4a} x^{\frac{1}{2}} \, dx
\]

\[
= 2a \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4a}
\]

\[
= \frac{4a}{3} \left[(4a)^{\frac{3}{2}}\right]
\]

\[
= \frac{4a}{3} \cdot 8a^{\frac{3}{2}}
\]

\[
= \frac{32a^2}{3}
\]

দ্বিতীয় অংশ:

\[
\int_{0}^{4a} \frac{x^2}{4a} \, dx = \frac{1}{4a} \int_{0}^{4a} x^2 \, dx
\]

\[
= \frac{1}{4a} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4a}
\]

\[
= \frac{1}{4a} \cdot \frac{(4a)^3}{3}
\]

\[
= \frac{1}{4a} \cdot \frac{64a^3}{3}
\]

\[
= \frac{16a^2}{3}
\]

### ধাপ ৪: মোট ক্ষেত্রফল
\[
\text{Area} = \frac{32a^2}{3} - \frac{16a^2}{3}
\]

\[
= \frac{16a^2}{3}
\]

### সঠিক উত্তর:
\( \frac{16a^2}{3} \)