প্রশ্ন: যদি $\overrightarrow{A} =\widehat{ i}+ 2\hat{j}- 3\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}= 3\hat{i}-\hat{j}+ 2\hat{k}$ হয়,তাহলে $\overrightarrow{A}+ \overrightarrow{B}$ এবং $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ মধ্যবর্তী কোণ হবে-

• ভেক্টর A = i + 2j - 3k
• ভেক্টর B = 3i - j + 2k

আমাদের খুঁজতে হবে:

• A + B এবং A - B ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ।

সমাধান:

ধাপ ১: A + B এবং A - B নির্ণয়:

• A + B = (i + 2j - 3k) + (3i - j + 2k) = 4i + j - k
• A - B = (i + 2j - 3k) - (3i - j + 2k) = -2i + 3j - 5k

ধাপ ২: কোসাইনের সূত্র ব্যবহার: দুটি ভেক্টর P এবং Q এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,

cosθ = (P · Q) / (|P| * |Q|)

যেখানে:

• P · Q হল P এবং Q ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট।
• |P| হল P ভেক্টরের মাত্রা।
• |Q| হল Q ভেক্টরের মাত্রা।

ধাপ ৩: ডট প্রোডাক্ট এবং মাত্রা নির্ণয়:

• (A + B) · (A - B) = (4 * -2) + (1 * 3) + (-1 * -5) = -8 + 3 + 5 = 0
• |A + B| = √(4² + 1² + (-1)²) = √18
• |A - B| = √((-2)² + 3² + (-5)²) = √38

ধাপ ৪: কোণ নির্ণয়: cosθ = 0 / (√18 * √38) = 0 ∴ θ = cos⁻¹(0) = 90°

সুতরাং, A + B এবং A - B ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ হল 90°।

উত্তর: 90°