সুত্র ৫।  $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

                             $=a^3+b^3+3ab(a+b)$

প্রমাণ : $(a+b{)}^3=(a+b\left)\right(a+b{)}^2$

                             $=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

                             $=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$

                             $=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+(a^{2}b+2a{b}^2+b^3)$

                             $=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

                             $=a^3+3ab(a+b)+b^3$

                             $=a^3+b^3+3ab(a+b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৭। $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

সুত্র ৬। $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

                            $=a^3-b^3-3ab(a-b)$

প্রমাণ : $(a-b{)}^3=(a-b\left)\right(a-b{)}^2$

             $=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

             $=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)$

             $=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3$

             $=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

             $=a^3-b^3-3ab(a-b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮। $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

উদাহরণ ১৬। $3x+2y$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(3x+2y{)}^3=(3x{)}^3+3\times (3x{)}^2\times (2y)+3(3x)\times (2y{)}^2+(2y{)}^3$

                                     $=27x^3+3\times 9x^2\times 2y+3+3x\times 4y^2+8y^3$

                                     $=27x^3+54x^{2}y+36x{y}^2+8y^3$

উদাহরণ ১৭।  $2a+5b$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(a+5b{)}^3=(2a{)}^3+3\times (2a{)}^2\times (5b)+3(2a)\times (5b{)}^2+\left(5b\right)³$

                                   $=8a^3+3\times 4a^2\times 5b+3\times 2a\times 25b^2+125b^3$

                                   $=8a^3+60a^{2}b+150a{b}^2+125b^3$

উদাহরণ ১৮। $1m-2n$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : ${\left(m2\right)}^3=\left(m\right)³-3\times \left(m\right)²\times \left(2n\right)+3\times m\times \left(2n\right)²-\left(2n\right)³$

                             $=m^3-3m^2\times 2n+3m\times 4n^2-8n^3$

                             $=m^3-6m^{2}n+12m{n}^2-8n^3$

উদাহরণ ১৯। $4x–5y$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(4x-5y{)}^3=(4x{)}^3-3\times (4x{)}^2\times (5y)+3(4x)\times (5y{)}^2-(5y{)}^3$

                                     $=64x^3-3\times 16x^2\times 5y+3\times 4x\times 25y^2-125y^3$

                                     $=64x^3-240x^{2}y+300x{y}^2-125y^3$

উদাহরণ ২০। $x+y-z$ এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(x+y-z{)}^3=\{(x+y)-z{\}}^3$

            $=(x+y{)}^3-3(x+y{)}^{2}z+3(x+y)z^2-z^3$

            $=(x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3)-3(x^2+2xy+y^2)\times z+3(x+y)\times z^2-z^2$

            $= x²+3x²y+3xy²+y³-3x²z-6xyz-3y²z+3xz²+3yz²-z³$

            $=x³+y³-z³+3x²y+3xy² -3x²z-3y²z+3xz²+3yz²-6xyz$

উদাহরণ ২১। সরল কর : $(4m+2n)³+3(4m+2n)²(m-2n)+3(4m+2n)(m-2n)²+(m-2n)³$

সমাধান : ধরি, $4m+2n=a$ এবং $m-2n=b$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

                        $={(a+b)}^3$

                        $={(4m+2n)+(m-2n)}^3$

                        $={(4m+2n+m-2n)}^3$

                        $={\left(5m\right)}^3=125m^3$

উদাহরণ ২২।  সরল কর : ${(4a-8b)}^3-{(3a-9b)}^3— 3(a+b)(4a-8b)(3a-9b)$

সমাধান : ধরি, $4a-8b=x$ এবং $3a-9b=y$

$\therefore$ $x-y=(4a-8b)–(3a-9b)=4a-8b-3a+9b=a+b$

এখন প্রদত্ত রাশি $=x-y^3-3( x- y)\times x\times y$

                          $=x^3-y^3-3xy(x - y)$

                          $={(x-y)}^3$

                          $={(a+b)}^3$

উদাহরণ ২৩। $a+b=3$ এবং $ab=2$ হলে, $a^3+b^3$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^3+b^3={(a+b)}^3–3ab(a+b)$

                               $={\left(3\right)}^3-3\times 2\times 3$

                               $=27-18$

                               $=9$

বিকল্প সমাধান : দেওয়া আছে, $a+b+c$ এবং $ab=2$

                       এখন, $a+b+c$

                        বা, $(a+b{)}^3=(3{)}^3$

                        বা, $a^3+b^3+3ab(a+b)=27$

                        বা,$a^3+b^3+3\times 2\times 3=27$

                        বা, $a^3+b^3+18=27$

                        বা, $a^3+b^3=27-18$

                       $\therefore$ $a^3+b^3=9$

উদাহরণ ২৪। $x-y=10$ এবং $xy=30$ হলে, $x^3-y^3$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $x^3-y^3=(x-y{)}^3+3xy(x-y)$

                               $=(10{)}^3+3\times 30\times 10$

                               $=1000+900$

                               $=1900$

উদাহরণ ২৫। $x+y=4$ হলে $x^3+y^3+12xy$ এর মান কত?

সমাধান : $x^3+y^3+12xy=x^3+y^3+3\times 4\times xy$

                                              $=x^3+y^3+3(x+y)\times xy$

                                              $=x^3+y^3+3xy(x+y)$

                                              $=(x+y{)}^3$

                                              $=(4{)}^3$

                                              $= 64.$

উদাহরণ ২৬। $a+\frac{1}{a}=7$ হলে, $a^3+\frac{1}{a^3}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^3+\frac{1}{a^3}=a^3+{\left(\frac{1}{a}\right)}^3$

                $={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3\times a\times \frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)$

                $={\left(7\right)}^3-3\times 7$          

                $=343-21$

                $=322$

উদাহরণ ২৭। $m=2$ হলে, $27m^3+54m^2+36m+3$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত রাশি $=27m^3+54m^2+36m+3$

                                 $=(3m{)}^3+3\times (3m{)}^2\times 2+3\times \left(3m\right)\times (2{)}^2+(2{)}^3-5$

                                $=(3m+2{)}^3-5$

                                $=(3\times 2+2{)}^3-5$            [m এর মান বসিয়ে]

                                $=(6+2{)}^3-5=8^3-5$