n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - দ্বিপদী বিস্তৃতি | NCTB BOOK

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

2=2.1, 6=3.2.1, 24=4.3.2.1!, 120=5.4.3.2.1,...

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

2=2.1=2!, 6=3.2.1=3!, 24=4.3.2.1=4!, 120=5.4.3.2.1=5!.....

এখন লক্ষ করি:
4!=4.3.2.1=4.4-1.4-2.4-35!=5.4.3.2.1=5.5-1.5-2.5-3.5-4

সাধারণভাবে লিখতে পারি, n!=nn-1n-2n-3.......... 3. 2. 1 এবং n! কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) n বলা হয়। তদ্রুপ 3! কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, 4! কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
53=5.4.31.2.3=5.4.3.2.1(1.2.3).2.1=5!3!×2!=5!3!×5-3!

74=7.6.5.41.2.3.4=7.6.5.4.3.2.11.2.3.4.3.2.1=7!4!×3!=7!4!×7-4!

সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি nr=n!r!n-r!

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

nr=n!r!n-r!=Crn

74=7!4!7-4!=C47 এবং 53=5!3!5-3!=C35

সুতরাং, nr=Crn অর্থাৎ,nr ও Crnএর মান এক।

আমরা জানিnn=Cnn=n!n!n-n!=n!n!0!=10!1=10!,

অর্থাৎ 0!=1

মনে রাখতে হবে

n!=nn-1n-2........3.2.1nr=Crn, Crn=1nr=Crn=n!r!(n-r)!, n0=C0n=1nn=Cnn=1, 0!=1
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা nr কে Crn দ্বারা প্রকাশ করব।
1+yn=1+C1ny+C2ny2+C3ny3+ .........+ Cnnyn1+yn=1+ny+nn-12!y2+nn-1n-23!y3+....... +yn

এবং অনুরূপভাবে,
x+yn=xn+C1nxn-1y+C2nxn-2y2+C3nxn-3y3+.......+Crnxn-ryr+.......+Cnnynx+yn=xn+nxn-1y+n(n-1)1.2xn-2y2+n(n-1)(n-2)1.2.3xn-3y3+..........+yn
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি 1+yn এর সাধারণ পদ বা r+1 তম পদ Tr+1=nryr বা  Crnyr
এখানে,nr বা Crn দ্বিপদী সহগ।
x+yn=xn+C1nxn-1y+C2nxn-2y2+C3nxn-3y3+...........+Cnnynx+yn=xn+nxn-1y+nn-11.2xn-2y2+nn-1n-21.2.3xn-3y3+........+yn
সাধারণ পদ বা  r+1 তম পদ Tr+1=nrxn-ryr যেখানে nr বাCrn দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. x-1x25কে বিস্তৃত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

x-1x25=x5+C15x5-1-1x2+C25x5-2-1x22+C35x5-3-1x23+C45x5-4-1x24+-1x25=x5-5x4.1x2+5.41.2x3.1x4-5.4.31.2.3x21x6+5.4.3.21.2.3.4x1x8-1x10=x5-5x2+10x-10x4+5x7-1x10


 

Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion