পাশের চিত্রে ABC একটি ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির তিনটি বাহু AB, BC, CA এবং তিনটি কোণ হলো ∠ABC (সংক্ষেপে ∠B), ∠BCA (সংক্ষেপে ∠C) এবং ∠BAC (সংক্ষেপে ∠A)। সাধারণত ∠A, ∠B ও ∠ C এর বিপরীত বাহুগুলোকে যথাক্রমে a, b ও c প্রকাশ করা হয়।
∴ BC=a, CA=b এবং AB=c
ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে। বিষয়টি বোঝার জন্য নিচের কাজটি কর।
| কাজ ১। যেকোনো একটি কোণ আঁক। কোণটির শীর্ষবিন্দু থেকে উভয় বাহুতে সমান দূরত্বে দুটি বিন্দু চিহ্নিত কর। বিন্দু দুটি যুক্ত কর। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। চাঁদার সাহায্যে ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটি পরিমাপ কর। কোণ দুটি কি সমান? |
যদি কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান। পরবর্তী অধ্যায়ে এই প্রতিজ্ঞাটির যুক্তিমূলক প্রমাণ করা হবে। অর্থাৎ, ABC ত্রিভুজে AB = AC হলে, ∠ABC = ∠ACB হবে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন যুক্তিমূলক প্রমাণে প্রয়োগ করা হয়।
কাজ ১। যেকোনো তিনটি ত্রিভুজ আঁক। রুলারের সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও চাঁদার সাহায্যে তিনটি কোণ পরিমাপ কর এবং নিচের সারণিটি পূরণ কর।
প্রতিটি ক্ষেত্রে কোনো দুটি বাহু ও এদের বিপরীত কোণগুলো তুলনা কর। এ থেকে কী সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায়? |
উপপাদ্য ২
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆ABC-এ AC > AB প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC > ∠ACB অঙ্কন: AC থেকে AB এর সমান করে AD অংশ কাটি এবং B, D যোগ করি।
প্রমাণ:
| ধাপ | যথার্থতা |
| (১) ABD-এ AB = AD ∴ ∠ADB =∠ABD (২) BDC-এ বহিঃস্থ ∠ADB > ∠BCD ∴ ∠ABD > ∠BCD বা ∠ABD > ∠ACB (৩) ∠ABC > ∠ABD সুতরাং, ∠ABC > ∠ACB (প্রমাণিত)। | [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান।] [বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] [∠ABD কোণটি ∠ABC এর একটি অংশ] |
উপপাদ্য ৩
কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆ABC' এর ∠ABC > ∠ACB প্রমাণ: |  |
| ধাপ | যথার্থতা |
| (১) যদি AC বাহু AB বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর না হয়, তবে (i) AC = AB অথবা (ii) AC < AB হবে। | |
| (i) যদি AC = AB হয়, তবে ∠ABC = ∠ACB কিন্তু শর্তানুযায়ী ∠ABC > ∠ACB তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী। | সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান। |
(ii) আবার, যদি AC < AB হয়, তবে ∠ABC ∠ACB হবে। কিন্তু তা-ও প্রদত্ত শর্তবিরোধী। ∴ AB AC এবং AC AB ∴ AC > AB (প্রমাণিত)। | [ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর। উপপাদ্য-২ |
Read more
