সরল সমীকরণের সমাধান (৫.৩)

একটি সমীকরণ থেকে এর চলকটির মান নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় সমীকরণের সমাধান। চলকের মানকে বলা হয় সমীকরণটির মূল। এই মূল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, সমীকরণটির দুই পক্ষ সমান হয়। সমাধানে চলকটিকে সাধারণত বামপক্ষে রাখা হয়।

সমীকরণ সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলো ব্যবহৃত হয়:

স্বতঃসিদ্ধগুলোর উদাহরণে ব্যবহৃত a, b, c যেকোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হতে পারে।

(১) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a = b হলে, a+c=b+c। এখানে উভয়পক্ষে যোগ করা হয়েছে।

(২) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটি থেকে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a=b হলে, a-c=b-c। এখানে উভয়পক্ষ থেকে বিয়োগ করা হয়েছে।

(৩) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়।

যেমন, a=b হলে, ac = bc বা ca=cb। এখানে উভয়পক্ষকে দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

(৪) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।

যেমন, a=b হলে, $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$। এখানে উভয়পক্ষকে দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, c ≠ 0।

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলো প্রধানত সমীকরণের সমাধানে সরলীকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 2x - 1 = 5 সমীকরণটি সমাধান করে x এর মান নির্ণয় করি। এখানে বামপক্ষের রাশিতে শুধু x রাখা প্রয়োজন। এ জন্য প্রথমে বামপক্ষ থেকে 1 সরাতে হবে। তারপর x এর -সহগ 1 করতে হবে, অর্থাৎ x এর সহগ 2 সরাতে হবে। এখন, বামপক্ষ থেকে-1 সরাতে হলে, এর সাথে 1 যোগ করতে হবে। কিন্তু শুধু একপক্ষে যোগ করা যায় না, উভয়পক্ষে যোগ করতে হয়। তা না হলে, উভয়পক্ষ সমান থাকে না।

∴ 2x - 1 = 5 সমীকরণের উভয়পক্ষে 1 যোগ করি

2x - 1 + 1 = 5 + 1

বা, 2x = 6

এখন, যেহেতু বামপক্ষে x এর গুণক বা সহগ 2 সরাতে হবে, সুতরাং উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

∴ আমরা লিখি $\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}$ বা, x = 3.

∴ 2x - 1 = 5 সমীকরণটি সমাধান করে x এর মান 3 পেলাম। কিন্তু সমাধানটি শুদ্ধ হয়েছে কি না তা যাচাই করা দরকার। এটাকে বলে সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা।

এ জন্য আমাদের x এর প্রাপ্ত মান সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে।

বামপক্ষ $= 2x - 1 = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5 =$ডানপক্ষ।

∴ সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

দুইপক্ষে চলক থাকলে, চলকের প্রাপ্ত মান দুইপক্ষেই পৃথকভাবে বসাতে হবে।

উদাহরণ ১। সমাধান কর ও সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর: x + 1 = 5

সমাধান: x + 1 = 5

বা, x + 1 - 1 = 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]

বা, x = 4

∴ সমাধান: x = 4

শুদ্ধি পরীক্ষা: x + 1 = 5 সমীকরণে এর পরিবর্তে 4 বসিয়ে,

বামপক্ষ = x + 1 = 4 + 1 = 5 = ডানপক্ষ।

∴ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

উদাহরণ ২। সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর: x - 3 = 7

সমাধান: x - 3 = 7

বা, x - 3 + 3 = 7 + 3 [উভয়পক্ষে ও যোগ করে]

বা, x = 10

∴ সমীকরণটির মূল 10

উদাহরণ ৩। সমাধান কর: 2z + 5 = 15

সমাধান: 2z + 5 = 15

বা, 2z + 5 - 5 = 15 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]

বা, 2z = 10

বা, $\frac{2z}{2}=\frac{10}{2}$[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, z = 5

∴ সমাধান: z = 5 .

উদাহরণ ৪। সমাধান কর 5 - x = 7

সমাধান: 5 - x = 7

বা, 5 - x - 5 = 7 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]

বা, - x = 2

বা, (- x) $\times$ (- 1) = 2$\times$(- 1) [উভয়পক্ষকে (-1) দ্বারা গুণ করে]

বা, x = - 2

∴ সমাধান: x = - 2

উদাহরণ ৫। সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর এবং সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর: 5y - 2 = 3y + 8

সমাধান: 5y - 2 = 3y + 8

বা, 5y - 2 + 2 = 3y + 8 + 2 [উভয়পক্ষে 2 যোগ করে]

বা, 5y = 3y + 10

বা, 5y - 3y = 3y + 10 - 3y [উভয়পক্ষ থেকে 3y বিয়োগ করে]

বা, $\frac{2y}{2}=\frac{10}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 5

∴ সমীকরণটির মূল 5

শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রদত্ত সমীকরণে y এর পরিবর্তে 5 বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = 5y - 2 = 5 $\times$ 5 - 2 = 25 - 2 = 23

ডানপক্ষ = 3y + 8 = 3 $\times$ 5 + 8 = 15 + 8 = 23

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

∴ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।