চিত্রে ∠CAD কার সমান?

একই সমতলে দুইটি রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে।
পাশের চিত্রে, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। ০ বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু।

সরল কোণ

চিত্রে, AB একটি রশ্মি। AB রশ্মির প্রান্তবিন্দু A থেকে AB এর বিপরীত দিকে AC রশ্মি আঁকা হয়েছে।

AC কে AB রশ্মির বিপরীত রশ্মি বলা হয়। AC ও AB রশ্মিদ্বয় তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু A তে ∠BAC উৎপন্ন করেছে। ∠BAC কে সরল কোণ বলে। সরল কোণের পরিমাপ ১৮০°।

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে।

সন্নিহিত কোণ

পাশের চিত্রে, A বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। এ বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। ∠BAC ও ∠CAD উৎপন্নকারী বাহুগুলোর মধ্যে AC সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC' এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠CAD কে পরস্পর সন্নিহিত কোণ বলে।

যদি কোনো তলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।

কাজ: ১। কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো; চাঁদার সাহায্যে কোণগুলো আঁক: (ক) ৩০° (খ) ৪৫° (গ) ৬০° (ঘ) ৯০° (ঙ) ১২০° (চ) ১৮০°। ২। কোণের পরিমাপ করে শ্রেণিবিভাগ কর:

লম্ব, সমকোণ

চিত্রে, BD রেখার 4 বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। A বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু।

∠ BAC ও ∠ CAD উৎপন্নকারী কোণগুলোর মধ্যে AC সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC এর দুই পাশে অবস্থিত। ∠ BAC এবং ∠ CAD পরস্পর সমান হলে, এদের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। আবার AD ও AC বাহুদ্বয় বা AB ও AC বাহুদ্বয়কে পরস্পরের উপর লম্ব বলে।

যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব।

পূরক কোণ

পাশের চিত্রে, ∠ AOB একটি সমকোণ। OC রশ্মি কোণটির বাহুদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। এর ফলে ∠AOC এবং ∠ COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠ AOB এর পরিমাপের সমান, অর্থাৎ 80° ∠ AOC এবং ∠ COB কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 80° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

সম্পূরক কোণ

AB একটি সরলরেখার O অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। OC একটি রশ্মি যা OA রশ্মি ও OB রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB কোণের পরিমাপের সমান, অর্থাৎ ১৮০°, কেননা ∠AOB একটি সরলকোণ। আমরা বলি, ∠AOC এবং ∠COB কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ, অথবা এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।

বিপ্রতীপ কোণ

AB এবং CD দুইটি সরলরেখা। এরা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে ০ বিন্দুতে ∠AOC, ∠COB, ∠BOD এবং ∠DOA চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। এদের প্রত্যেকের শীর্ষবিন্দু O। এদের মধ্যে ∠BOD ও ∠AOC কোণ দুইটির একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ অথবা এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার, ∠BOC ও ∠DOA কোণ দুইটির একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ অথবা এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

রশ্মি হিসেবে দেখলে, OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি, কেননা A.O.B বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত। আবার OCও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। O বিন্দুতে তৈরি চারটি কোণের যে কোনোটির বিপ্রতীপ কোণের বাহুদ্বয় মূল কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয়।

লক্ষ করি: যেকোনো কোণ ও তার বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান।

কাজ: ১। পাশের চিত্রে নির্দেশিত কোণগুলো পরিমাপ কর।

উপপাদ্য ১

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ।

মনে করি, AB সরলরেখাটির O বিন্দুতে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে। ফলে ∠AOC ও ∠COB দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC + ∠COB = দুই সমকোণ

AB রেখার উপর DO লম্ব আঁকি।

∠AOC + ∠COB = ∠AOD+ ∠DOC+ ∠COB

= ∠AOD + ∠DOB

[যেহেতু ∠DOC+ ∠COB = ∠DOB]

= ২ সমকোণ

[যেহেতু ∠AOD ও ∠DOB এর প্রত্যেকে এক সমকোণ।]

[প্রমাণিত]

উপপাদ্য ২

দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে O বিন্দুতে ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠AOD কোণ উৎপন্ন হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC= বিপ্রতীপ ∠BOD এবং ∠COB = বিপ্রতীপ ∠AOD ।

OA রশ্মির বিন্দুতে CD রেখা মিলিত হয়েছে।

∠AOC + ∠AOD = ১ সরলকোণ = ২ সমকোণ। [উপপাদ্য ১]

আবার, OD রশ্মির O বিন্দুতে AB রখা মিলিত হয়েছে।

∴ ∠AOD + ∠BOD = ১ সরলকোণ = ২ সমকোণ।

[উপপাদ্য ১]

সুতরাং ∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD

∴ ∠AOC = ∠BOD [উভয় পক্ষ থেকে ∠AOD বাদ দিয়ে]

অনুরূপে দেখানো যায়, ∠COB = ∠AOD [প্রমাণিত]