ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD একটি মধ্যমা।

প্রমাণ কর যে, BC² = CD² + 3AD²

বিশেষ নির্বচন: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC এর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, AB^² +BC^² +CA^² = 4AD^²  

প্রমাণ: ধাপ

(১) ABC সমবাহু ত্রিভুজে AB = BC = AC [সমবাহু ত্রিভুজে প্রত্যেক বাহু পরস্পর সমান]
(২) যেহেতু ∆ABC-এ AD$\perp$BC

BD = CD

এবং BC = 2BD

BC²  = 4BD²

AB²  = 4BD²  [ধাপ-(১) থেকে]

ABD সমকোণী ত্রিভুজে, ∠D = এক সমকোণ

AB²  = AD² +BD²  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

AB² -BD²  = AD²

এখন, AB²  + BC² +CA²

= AB² +AB² +AB²   [ধাপ (১) থেকে]

=3AB²

=3(AD² +BD² )   [ধাপ (৩) থেকে]

= 3AD² +3BD²

=3AD² +4BD² -BD²

=3AD² +AB² -BD²   [ধাপ (২) থেকে]

=3AD² +AD²        [ধাপ (৩) থেকে]

=4AD²

অতএব, AB² +BC² +CA² =4AD² (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে ০ বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে। অর্থাৎ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 1  সমকোণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, AB² +CD² =BC² +AD²

প্রমাণ: ধাপ

(১) চিত্রের AOB সমকোণী ত্রিভুজে

∠AOB = এক সমকোণ এবং AB এর অতিভুজ।

$\therefore$AB²  = AO² +BO²  [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]

(২) তদ্রুপ BOC সমকোণী ত্রিভুজে,

BC²  = BO²  +CO²        [একই কারণে]

(৩) COD সমকোণী ত্রিভুজে,

CD²  = CO²  + DO²         [একই কারণে]

(8) AOD সমকোণী ত্রিভুজে,

AD²  = AO²  +DO²            [একই কারণে]

(৫) এখন,AB²  + CD²  = AO²  +BO² +CO² +DO²           [ ধাপ (১) ও ধাপ (৩) যোগ করে ]

= (BO² +CO² ) + (AO² +DO² )

= BC²  +AD²  [ধাপ (২) ও ধাপ (৪) থেকে প্রাপ্ত]

অতএব, AB² +CD²  = BC²  +AD²  (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ, BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, 5BC²  = 4(BP² +CQ² )

প্রমাণ:

(১) ∆ABC-এর BP ও CQ দুইটি মধ্যমা

$\therefore$ AP = $\frac{1}{2}$AC এবং AQ = $\frac{1}{2}$AB [ত্রিভুজের যে কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যমা তার বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

(২) ∆ABC এ ∠A সমকোণ।

$\therefore$ AB² +AC²  = BC²  ………..(i)       [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]

(৩) আবার, ∆ABP এ ∠A সমকোণ

$\therefore$AB²  + AP²  = BP²  ………..(ii)                [একই কারণে]

তদ্রুপ ∆ACQ এ ∠A সমকোণ।

(৪) তদ্রুপ ∆ACQ এ ∠A সমকোণ।

$\therefore$ AC²  + AQ²  = CQ²  …….(iii)       [একই কারণে]

(৫) এখন, AB² +AP² +AC² +AQ²  = BP² +CQ²          [(ii) ও (iii) যোগ করে]

বা, AB²  + ($\frac{1}{2}$AC)²  + AC²  + ($\frac{1}{2}$AB)²  = BP²  +CQ²            [ধাপ (১) হতে]

বা, AB²  + AC²  + $\frac{1}{4}$AB²  + $\frac{1}{4}$AC²  = BP²  + CQ²

বা, (AB² +AC² )+$\frac{1}{4}$(AB²  +AC² )= BP² +CQ²

বা, BC² +$\frac{1}{4}$BC²  = BP²  +CQ²             [ধাপ (২) থেকে প্রাপ্ত]

বা, $\frac{5}{4}$BC²  = BP²  +CQ²

$\therefore$ 5BC²  = 4(BP² +CQ² ) (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD বর্গক্ষেত্রের AC একটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AC2 = 2AB2

প্রমাণ: ধাপ

(১) ABCD বর্গক্ষেত্রে AB = BC

(২) এখন, ∆ABC- এ ∠B = এক সমকোণ       [বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ]

সুতরাং সমকোণী ∆ABC এর AC অতিভুজ।

AC² = AB² + BC²        [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]

= AB² + AB²    [ধাপ (১) থেকে ]

AC²= 2AB²

অতএব কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, OB = 4 সে.মি.; AO = 3 সে.মি. এবং BC = 5 সে.মি.

এখানে, চিত্রে BC$\perp$OB এবং AO$\perp$OB

$\therefore$ BC || AO এবং AC তাদের ছেদক

∠BCD = ∠DAO [একান্তর কোণ]

এখন, সমকোণী ∆BCD ও ∆AOD

এর মধ্যে ∠BCD = ∠DAO

এবং অবশিষ্ট ∠BDC = অবশিষ্ট ∠ADO  [$\because$ বিপ্রতীপ কোণ]

∆BCD ও ∆AOD সদৃশকোণী

$\therefore \frac{BC}{AO}=\frac{BD}{OD}$        [সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক]

বা, $\frac{5}{3}$ = $\frac{BD}{OB-BD}$

বা, $\frac{5}{3}=\frac{BD}{4-BD}$

বা, 3BD =  20 - 5BD [আড়গুণন করে]

বা, 3BD + 5BD = 20

বা, 8 BD = 20

বা, BD = $\frac{20}{8}$

$\therefore$ BD = 2.5 সে.মি. (Ans.)

এখন, সমকোণী ∆BCD-এ

CD²  = BC²  +BD²  = 5²  +² .5² = ² 5 + 6.² 5 = 31.25

$\therefore$CD = 5.59 সে.মি. (প্রায়)

সমকোণী ত্রিভুজ, ∆AOD-এ

AD²  = AO²  + DO²  = 3²  + (4-2.5)²

= 3²  + (1.5)²  = 9+2 .25= 11.25

$\therefore$ AD = 3.354 সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ AC = AD + CD = (3.354+5.59) সে.মি

$\therefore$ AC = 8.944 সে.মি. (প্রায়) (Ans.)

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র যার একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে, বর্গক্ষেত্র

ABCD = $\frac{1}{2}$ (AC কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র)

প্রমাণ: ধাপ

(১) ∠B = 90°              [$\because$ বর্গের প্রতিটি কোণ 90°]

তাহলে, সমকোণী ∆ABC - এর AC অতিভুজ। এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

AC²  = AB²  + BC²

বা, AC²  = AB²  + AB²   [$\because$ বর্গের প্রতিটি বাহু সমান অর্থাৎ BC = AB]

বা, AC²  = 2AB²

$\therefore$ AB²  = $\frac{1}{2}$ AC²

$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (যে কোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য)²

$\therefore$ বর্গক্ষেত্র ABCD = $\frac{1}{2}$ (AC কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র)

অতএব, কোনো বর্গক্ষেত্র এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক (প্রমাণিত)