দৈর্ঘ্যের পরিমাপ, প্রস্থের পরিমাপ ও উচ্চতার পরিমাপ একই এককে প্রকাশ করে আয়তনের পরিমাপ ঘন এককে নির্ণয় করা হয়। দৈর্ঘ্য ১ সেন্টিমিটার, প্রস্থ ১ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা ১ সেন্টিমিটারবিশিষ্ট বস্তুর আয়তন ১ ঘন সেন্টিমিটার।

উদাহরণ ৭। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ৫০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান :                       দৈর্ঘ্য = ২ মিটার = ২০০ সে. মি.

                                      প্ৰস্থ  = ১ মিটার ৫০ সে. মি. = ১৫০ সে. মি.

                          এবং উচ্চতা = ১ মিটার = ১০০ সে. মি.

            $\therefore$ বাক্সটির আয়তন  = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ x উচ্চতা

                                              = (২০০ X ১৫০ X ১০০) ঘন সে. মি.

                                              = ৩০০০০০০ ঘন সে. মি.

                                              = ৩ ঘনমিটার

বিকল্প পদ্ধতি : দৈর্ঘ্য = ২ মিটার, প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সে. মি. $=\frac{১}{২}$ মিটার এবং উচ্চতা = ১ মিটার।

             $\therefore$ বাক্সটির আয়তন = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ x উচ্চতা

                                                 $=\left(২\times \frac{৩}{২}\times ১\right)$ ঘনমিটার

                                                  = ৩ ঘনমিটার

             $\therefore$ নির্ণেয় আয়তন ৩ ঘনমিটার।

উদাহরণ ৮। একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে, গভীরতা কত?

সমাধান : চৌবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল = ২.৫৬ মিটার x ১.২৫ মিটার

                                                             = ২৫৬ সে. মি. × ১২৫ সে. মি.

                                                             = ৩২০০০ বর্গ সে. মি.

     চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা ৮০০০ X ১০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে। [১০০০ ঘন সে. মি. = ১ লিটার]

         অতএব, চৌবাচ্চাটির আয়তন ৮০০০০০০ ঘন সে. মি.

                      $\therefore$ চৌবাচ্চাটির গভীরতা   $=\frac{৮০০০০০০}{৩২০০০}$  সে. মি. = ২৫০ সে. মি.

                                                                                                              = ২.৫ মিটার।

বিকল্প পদ্ধতি :

চৌবাচ্চাটির তলার ক্ষেত্রফল   = ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার

                                               = ৩.২ বর্গ মি.

চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা ৮০০০ X ১০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে।

$\therefore$ চৌবাচ্চাটির আয়তন $=\frac{৮০০০\times ১০০০}{১০০০০০০}$ ঘন মি. = ৮ ঘন মিটার [১ ঘন মি. = ১০০০০০০ ঘন সে.মি.]

$\therefore$ চৌবাচ্চাটির গভীরতা $=\frac{৮}{৩.২}$ মিটার

                                         = ২.৫ মিটার।

উদাহরণ ৯। একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান : ৭.৫০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে

          $\therefore$   ১       ''       ''       ''  $\frac{১}{৭.৫০}$ বর্গমিটারে

          $\therefore$   ১১০২.৫০  ''   ''   ''  $\frac{১\times ১১০২.৫ }{৭.৫০}$ বর্গমিটারে

                                                                           = ১৪৭ বর্গমিটারে

  অর্থাৎ, ঘরের ক্ষেত্রফল ১৪৭ বর্গমিটার।
  মনে করি, প্রস্থ = ক মিটার
              $\therefore$ দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

  $\therefore$ ক্ষেত্রফল  = (দৈর্ঘ্য x প্রস্থ ) বর্গ একক

                         = (৩ক×ক) বর্গমিটার = ৩ক² বর্গমিটার

 শর্তানুসারে,

          ৩ক² = ১৪৭

        বা, ক‍² = $\frac{১৪৭}{৩}$

        বা, ক‍² =  ৪৯

       $\therefore$ ক  = $\sqrt{৪৯}$ = ৭

 অতএব, প্রস্থ = ৭ মিটার,

উদাহরণ ১০। বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী। যে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৬ মিটার, ১২ মিটার ও ৪ মিটার, তাতে কত কিলোগ্রাম বায়ু আছে?

সমাধান : ঘরের আয়তন = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ x উচ্চতা
                                       = ১৬ মি. × ১২ মি. × ৪ মি.
                                       = ৭৬৮ ঘনমিটার
                                       = ৭৬৮ × ১০০০০০০ ঘন সে.মি.
                                       = ৭৬৮০০০০০০ ঘন সে.মি.

         বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী।

 $\therefore$ ১ ঘন সে. মি. বায়ুর ওজন = ০.০০১২৯ গ্রাম

        অতএব, ঘরটিতে বায়ুর পরিমাণ = ৭৬৮০০০০০০ × ০.০০১২৯ গ্রাম

                                                         = ৯৯০৭২০ গ্রাম

                                                         = ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম

 $\therefore$ ঘরটিতে ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম বায়ু আছে।

উদাহরণ ১১। ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। প্রতি বর্গমিটারে ২.৭৫ টাকা দরে রাস্তাটিতে ঘাস লাগাতে মোট কত খরচ হবে?

সমাধান :

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মি. + (২+২) মি. = ২৫ মিটার

     ''            ''         প্রস্থ   = ১৫ মি. + ( ২ + ২) মি. = ১৯ মিটার

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল    = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার

                                              = ৪৭৫ বর্গমিটার

রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল  = (২১ × ১৫) বর্গমিটার

                                               = ৩১৫ বর্গমিটার

             $\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল  = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার

                                               = ১৬০ বর্গমিটার

ঘাস লাগানোর মোট খরচ         = (১৬০ × ২.৭৫) টাকা

                                               = ৪৪০.০০ টাকা 

অতএব, ঘাস লাগানোর মোট খরচ ৪৪০ টাকা।

উদাহরণ ১২। ৪০ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৩০ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝে আড়াআড়িভাবে ১.৫ মিটার প্রশস্ত দুইটি রাস্তা আছে। রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান : দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৪০ × ১.৫ বর্গমিটার

                                                                  = ৬০ বর্গমিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৩০ - ১.৫) × ১.৫ বর্গমিটার

                                               = ২৮.৫ × ১.৫ বর্গমিটার

                                               = ৪২.৭৫ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তাদ্বয়ের ক্ষেত্রফল = (৬০ + ৪২.৭৫) বর্গমিটার

                                              = ১০২.৭৫ বর্গমিটার

$\therefore$ রাস্তাদ্বয়ের মোট ক্ষেত্রফল ১০২.৭৫ বর্গমিটার।

উদাহরণ ১৩। ২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হতো, তবে ৬০০০ টাকা খরচ হতো । কামরাটির প্রস্থ কত?

সমাধান : কামরার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে (২০ মিটার × ৪ মিটার)

                                                                                                                   = ৮০ বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার কমার জন্য খরচ কমে (৭৫০০ – ৬০০০) টাকা

                                                                          = ১৫০০ টাকা

            ১৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গমিটারে

     $\therefore$     ১         ''      ''      '' $=\frac{৮০}{১৫০০}$ ''

      $\therefore$ ৭৫০০     ''       ''     '' $\frac{৮০\times ৭৫০০}{১৫০০}$ '' বা ৪০০ বর্গমিটারে

অতএব, কামরার ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার।

                                      $=\frac{৪০০}{২০}$ মিটার

                                       = ২০ মিটার

       $\therefore$ কামরাটির প্রস্থ ২০ মিটার।

উদাহরণ ১৪। একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ৩.৫ মিটার। ঘরটির উচ্চতা ৩ মিটার এবং এর দেওয়ালগুলো ১৫ সে. মি. পুরু হলে, চার দেওয়ালের আয়তন কত?

সমাধান : দেওয়ালের পুরুত্ব ১৫ সে.মি. $=\frac{১৫}{১০০}=০.১৫$

 চিত্রানুসারে, দৈর্ঘ্যের দিকে ২টি দেওয়ালের ঘনফল =

(৪ + ২ × ০.১৫) × ৩ × ০.১৫ × ২ ঘনমিটার = ৪.৩ × ৩ × ০.১৫ × ২ ঘন মিটার 

                                                                    = ৩.৮৭ ঘনমিটার

এবং প্রস্থের দিকে ২টি দেওয়ালের আয়তন = ৩.৫ × ৩ × 0.১৫ × ২ ঘনমিটার

                                                                 = ৩.১৫ ঘনমিটার

$\therefore$ দেওয়ালগুলোর মোট আয়তন = (৩.৮৭ + ৩.১৫) ঘনমিটার

                                                     = ৭.০২ ঘনমিটার

$\therefore$নির্ণেয় আয়তন ৭.০২ ঘনমিটার।

উদাহরণ ১৫। একটি ঘরের ৩টি দরজা এবং ৬টি জানালা আছে। প্রত্যেকটি দরজা ২ মিটার লম্বা এবং ১.২৫ মিটার চওড়া, প্রত্যেক জানালা ১.২৫ মিটার লম্বা এবং ১ মিটার চওড়া। ঐ ঘরের দরজা জানালা তৈরি করতে ৫ মিটার লম্বা ও ০.৬০ মিটার চওড়া কয়টি তক্তার প্রয়োজন?

সমাধান : ৩টি দরজার ক্ষেত্রফল  = (২ × ১.২৫) × ৩ বর্গমিটার

                                                    = ৭.৫ বর্গমিটার

             ৬টি জানালার ক্ষেত্রফল  = (১.২৫ × ১) × ৬ বর্গমিটার

                                                    = ৭.৫ বর্গমিটার

দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল = (৭.৫ + ৭.৫) বর্গমিটার = ১৫ বর্গমিটার

                একটি তক্তার ক্ষেত্রফল = (৫ × ০.৬) বর্গমিটার = ৩ বর্গমিটার

নির্ণেয় তক্তার সংখ্যা = দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল ÷ তক্তার ক্ষেত্রফল

                                                   = (১৫ ÷ ৩) টি

                                                   = ৫ টি

উদাহরণ ১৬। একটি আয়তাকার লোহার টুকরার দৈর্ঘ্য ৮.৮ সে. মি, প্রস্থ ৬ সে.মি ও উচ্চতা ২.৫ সে. মি.। লোহার টুকরাটিকে ১৫ সে.মি. দৈর্ঘ্য, ৬.৫ সে.মি. প্রস্থ ও ৪ সে.মি. উচ্চতার আয়তাকার পাত্রে রেখে পানি দ্বারা পূর্ণ করা হল। লোহা পানির তুলনায় ৭.৫ গুণ ভারী।

ক. পানির পাত্রের আয়তন নির্ণয় কর।
খ. লোহার টুকরার ওজন নির্ণয় কর।
গ. পাত্রটিপানি পূর্ণ অবস্থায় লোহার টুকরাটি তুলে আনা হলে, পাত্রের পানির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান : (ক) পানির পাত্রটির দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি.

                                           প্রস্থ ৬.৫ সে.মি.

                                    এবং উচ্চতা ৪ সে.মি.

  $\therefore$ পানির পাত্রটির আয়তন = (১৫ × ৬.৫ × ৪) ঘন সে.মি.

                                              = ৩৯০ ঘন সে.মি.

                 (খ) লোহার টুকরাটির দৈর্ঘ্য ৮.৮ সে.মি.

                                                  প্রস্থ ৬ সে.মি.

                                   এবং উচ্চতা ২.৫ সে.মি.

             লোহার টুকরাটির আয়তন = (৮.৮ × ৬ × ২.৫)

                                                      = ১৩২ ঘন সে.মি.

আমরা জানি,

                               ১ ঘন সে.মি. পানির ওজন ১ গ্রাম

  এবং দেয়া আছে লোহা পানির তুলনায় ৭.৫ গুন ভারী

  $\therefore$ ১ ঘন সে.মি. লোহার ওজন (১×৭.৫) গ্রাম

  $\therefore$ ১৩২ ঘন সে.মি. লোহার ওজন (৭.৫ × ১৩২) গ্রাম

                                                            = ৯৯০ গ্রাম

  $\therefore$   লোহার টুকরাটির ওজন ৯৯০ গ্রাম

            (গ) পানির পাত্রের আয়তন ৩৯০ ঘন সে.মি.

                    লোহার টুকরাটির আয়তন ১৩২ ঘন সে.মি.

$\therefore$ লোহার টুকরাসহ পানিপূর্ণ পাত্র থেকে লোহার টুকরাটিকে তুলে

                                    আনা হলে পাত্রের অবশিষ্ট পানির আয়তন = (৩৯০-১৩২) ঘন সে.মি.

                                                                                                      = ২৫৮ ঘন সে.মি.

                                  পাত্রের অবশিষ্ট পানির উচ্চতা x সে.মি. হলে

                                                                                  x × ১৫ × ৬.৫ = ২৫৮

                                                                          বা x $=\frac{২৫৮}{১৫\times ৬.৫}$

                                                                                 $=\frac{২৫৮}{৯৭.৫}$

                                                                                  = ২.৬৫ (প্রায়)

                          $\therefore$পাত্রের অবশিষ্ট পানির উচ্চতা ২.৬৫ সে.মি. (প্রায়)