গাণিতিক প্রত্যাশা (Mathematical Expectation)

গাণিতিক প্রত্যাশা একটি দৈব চলকের সম্ভাব্য মানগুলোর সম্ভাবনার ওজনযুক্ত গড়। এটি দৈব চলকের দীর্ঘমেয়াদি গড় হিসাবেও পরিচিত।

সংজ্ঞা:

1. বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য:
   \[
   E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)
   \]
   যেখানে \(x_i\) হলো \(X\)-এর সম্ভাব্য মান এবং \(P(X = x_i)\) হলো প্রতিটি মানের সম্ভাবনা।
2. ধারাবাহিক দৈব চলকের জন্য:
   \[
   E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) , dx
   \]
   এখানে \(f(x)\) হলো দৈব চলকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন।

গড় (Mean)

গড় বা আর্থমেটিক গড় হলো একটি সেটের সকল মানের যোগফলকে মানগুলোর মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে নির্ণীত একটি মাপ।

গড় নির্ণয়ের সূত্র:

1. ডেটা সেটের জন্য:
   \[
   \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}
   \]
   যেখানে \(X_i\) হলো ডেটাসেটের মান এবং \(n\) হলো মানগুলোর সংখ্যা।
2. বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য:
   গড় হলো গাণিতিক প্রত্যাশা:
   \[
   \mu = E(X)
   \]
3. ধারাবাহিক দৈব চলকের জন্য:
   \[
   \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx
   \]

ভেদাঙ্ক (Variance)

ভেদাঙ্ক হলো দৈব চলকের মানগুলোর গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে গড় বিচ্যুতি স্কোয়ারের গড়। এটি দৈব চলকের পরিবর্তনশীলতার একটি পরিমাপ।

ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র:

1. বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য:
   \[
   Var(X) = E[(X - \mu)^2]
   \]
   অথবা,
   \[
   Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
   \]
2. ধারাবাহিক দৈব চলকের জন্য:
   \[
   Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx
   \]
   অথবা,
   \[
   Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx - \mu^2
   \]

মানদণ্ড বিচ্যুতি (Standard Deviation):

ভেদাঙ্কের বর্গমূল হলো মানদণ্ড বিচ্যুতি:
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]

উদাহরণ

১. গাণিতিক প্রত্যাশা:

একটি ছক্কা নিক্ষেপের ফলাফল \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\) এবং \(P(X = x_i) = \frac{1}{6}\)।
গাণিতিক প্রত্যাশা:
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5
\]

২. ভেদাঙ্ক:

\[
E(X^2) = \frac{1}{6}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = \frac{1}{6}(91) = 15.17
\]
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 15.17 - (3.5)^2 = 15.17 - 12.25 = 2.92
\]

৩. গড়:

ডেটাসেট: \( {2, 4, 6, 8, 10} \)
\[
\bar{X} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]

সারসংক্ষেপ

• গাণিতিক প্রত্যাশা: দৈব চলকের ওজনকৃত গড়।
• গড়: সাধারণ ডেটাসেটের জন্য গড় বা গাণিতিক প্রত্যাশা।
• ভেদাঙ্ক: মানগুলোর গড় থেকে বিচ্যুতির স্কোয়ারের গড়, যা পরিবর্তনশীলতার একটি পরিমাপ।