জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) ও নতি (আর্গুমেন্ট)

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র | | NCTB BOOK

জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) এবং নতি (আর্গুমেন্ট) একটি জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে। নিচে এগুলোর বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস)

জটিল সংখ্যা $ z = a + bi $ এর পরমমান (মডুলাস) হলো সেই বিন্দুর মূলবিন্দু (origin) থেকে দূরত্ব। পরমমানকে $ |z| $ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। মডুলাস নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

এখানে:

$ a $ হলো বাস্তব অংশ (Real Part)।
$ b $ হলো কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part)।

উদাহরণ

যদি $ z = 3 + 4i $ হয়, তবে এর পরমমান হবে:
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

পরমমান একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যা জটিল সংখ্যার নির্দিষ্ট দূরত্ব নির্দেশ করে।

জটিল সংখ্যার নতি (আর্গুমেন্ট)

জটিল সংখ্যার নতি (Argument) হলো সেই কোণ যা জটিল সংখ্যাটি $ x $-অক্ষের সাথে তৈরি করে। এটিকে $ \theta $ বা $ \arg(z) $ দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর একক সাধারণত রেডিয়ানে মাপা হয়।

নতি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
\[
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)
\]

এখানে:

$ a $ হলো বাস্তব অংশ।
$ b $ হলো কাল্পনিক অংশ।

নতি সাধারণত $ -\pi $ থেকে $ \pi $ এর মধ্যে থাকে, অর্থাৎ $ -180^\circ $ থেকে $ 180^\circ $ পর্যন্ত।

উদাহরণ

যদি $ z = 3 + 4i $ হয়, তবে এর নতি হবে:
\[
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \text{ রেডিয়ান}
\]

পরমমান ও নতির ব্যবহার

একটি জটিল সংখ্যা $ z = a + bi $ কে তার পরমমান $ |z| $ এবং নতি $ \theta $ এর সাহায্যে ধ্রুবক আকারে (Polar Form) প্রকাশ করা যায়:
\[
z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)
\]
এটি $ z = r \text{cos} \theta $ বা $ z = r e^{i \theta} $ আকারেও লেখা হয়, যেখানে $ r = |z| $ এবং $ \theta = \arg(z) $।

পরমমান ও নতি ব্যবহার করে জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ প্রক্রিয়াগুলো সহজে সম্পাদন করা যায়।

Content added By