or
or
যদি হয়, তবে এর মান কত?
প্রশ্নে একটি ফাংশন \( f(x) \) দেওয়া হয়েছে যা বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিভিন্ন মান নিচ্ছে:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{যদি } x > 0 \\
1, & \text{যদি } x = 0 \\
x, & \text{যদি } x < 0
\end{cases}
\]
এখন, আমাদের \( \lim_{x \to 0} f(x) \) বের করতে হবে। এটি বের করার জন্য আমরা ফাংশনের বাম এবং ডান দিকের লিমিট পৃথকভাবে বের করব।
### ১. ডান দিকের লিমিট (\( x \to 0^+ \)):
যখন \( x > 0 \), তখন \( f(x) = x^2 \)। সুতরাং:
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0
\]
### ২. বাম দিকের লিমিট (\( x \to 0^- \)):
যখন \( x < 0 \), তখন \( f(x) = x \)। সুতরাং:
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0
\]
### ৩. লিমিট নির্ণয়:
যেহেতু \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \) এবং \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \), তাই
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = 0
\]
### সঠিক উত্তর:
\( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)
"লিমিট হিসাবে অন্তরজ" বলতে "Limit as approaches infinity" বা ∞ তে প্রবণতা বোঝানো হচ্ছে। এটি গণিতে লিমিট বা সীমার একটি ধারণা যেখানে \( x \) বা অন্য কোনো চলক (variable) অসীমের দিকে চলে গেলে একটি ফাংশন বা অভিব্যক্তি কেমন আচরণ করে তা নির্ধারণ করা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, \( f(x) = \frac{1}{x} \) ফাংশনটির জন্য যখন \( x \to \infty \) বা \( x \) অসীমের দিকে যায়, তখন \( f(x) \) এর মান \( 0 \)-এর দিকে প্রবণতা প্রকাশ করে। অর্থাৎ,
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0
\]
এখানে, \( x \) যত বেশি বাড়তে থাকবে, \( f(x) \) এর মান তত ছোট হবে এবং অবশেষে শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছাবে।
এই ধরনের লিমিট গণনা করে বিভিন্ন ফাংশনের আচরণ নির্ধারণ করা হয়, বিশেষ করে ক্যালকুলাসে।
