নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু A∪(B∪C) এবং (A∪B)∪C উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে A∪(B∪C)=(A∪B)∪C। নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু A∩(B∩C) এবং (A∩B)∩C উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে (A∩B)∩C=A∩(B∩C)।
উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।
মনে করি এবং ।
তাহলে,
এবং A∪(B∪C)={a,b,c,d} ∪ {b,c,d,f,g}={a,b,c,d,f,g}।
আবার, A∪B={a,b,c,d} ∪ {b,c,f}={a,b,c,d,f}
এবং (A∪B)∪C={a,b,c,d,f} ∪ {c,d,g}={a,b,c,d,f,g}।
সুতরাং এক্ষেত্রে (A∪B)∪C=A∪(B∪C)।
আবার, B∩C={b,c,f} ∩ {c,d,g}={c}
এবংA∩(B∩C)={a,b,c,d} ∩ {c}={c} ।
আবার,A∩B={a,b,c,d} ∩ {b,c,f}={b,c}
এবং(A∩B)∩C={b,c} ∩ {c,d,g}={c}।
সুতরাং এক্ষেত্রে A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।
প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য
ক) (A∪B)' খ)
প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) মনে করি,। তাহলে, |
এবং এবং
আবার মনে করি,। তাহলে, এবং
এবং
সুতরাং ।
প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট এর যেকোনো উপসেট ও এর জন্য
প্রমাণ: মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
।
আবার মনে করি, । তাহলে, এবং ।
এবং
সুতরাং,
প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট এর জন্য
ক)
খ)
প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)
ক) সংজ্ঞানুসারে,
এবং
এবং
আবার,
এবং
এবং
সুতরাং, ।
Read more