নিচের বামের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cup \left(B\cup C\right)$ এবং $\left(A\cup B\right)\cup C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cup \left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C$। নিচের ডানের চিত্রে গাঢ় অংশটুকু $A\cap \left(B\cap C\right)$ এবং $\left(A\cap B\right)\cap C$ উভয় সেটই নির্দেশ করে। সুতরাং এক্ষেত্রে $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$।

উপরে ভেনচিত্রের সাহায্যে যাচাই করা হয়েছে। এবার সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

মনে করি  এবং  ।

তাহলে, 

এবং $A\cup \left(B\cup C\right)=\{a,b,c,d\} \cup \{b,c,d,f,g\}=\{a,b,c,d,f,g\}$।

আবার, $A\cup B=\{a,b,c,d\} \cup \{b,c,f\}=\{a,b,c,d,f\}$

এবং $(A\cup B)\cup C=\{a,b,c,d,f\} \cup \{c,d,g\}=\{a,b,c,d,f,g\}$।

সুতরাং এক্ষেত্রে $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup (B\cup C)$।

আবার, $B\cap C=\{b,c,f\} \cap \{c,d,g\}=\left\{c\right\}$

এবং$A\cap (B\cap C)=\{a,b,c,d\} \cap \left\{c\right\}=\left\{c\right\}$ ।

আবার,$A\cap B=\{a,b,c,d\} \cap \{b,c,f\}=\{b,c\}$

এবং$\left(A\cap B\right)\cap C=\{b,c\} \cap \{c,d,g\}=\left\{c\right\}$।

সুতরাং এক্ষেত্রে $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

দ্রষ্টব্য: সেটের সংযোগ ও ছেদ প্রক্রিয়া দুইটির প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বন্টন নিয়ম মেনে চলে।

প্রতিজ্ঞা ১ (ডি মরগ্যানের সূত্র): সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B এর জন্য

ক) $\left(A\cup B\right)\text{'}=A\text{'}\cap B\text{'}$                 খ) $\left(A\cap B\right)\text{'}=A\text{'}\cup B\text{'}$

প্রমাণ: ( কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) মনে করি,$x\in \left(A\cup B\right)\text{'}$। তাহলে, $x\notin A\cup B$|

               $\Rightarrow x\notin A$এবং $x\notin B$ $\Rightarrow x\in A\text{'}$ এবং $x\in B\text{'} \Rightarrow x\in A\text{'}\cap B\text{'}$

$\therefore \left(A\cup B\right)\text{'}\subseteq A\text{'}\cap B\text{'}$

আবার মনে করি,$x\in A\text{'}\cap B\text{'}$। তাহলে, $x\in A\text{'}$ এবং $x\in B\text{'}$

               $\Rightarrow x\notin A$এবং$x\notin B\Rightarrow x\notin A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)\text{'}$

$\therefore A\text{'}\cap B\text{'}=(A\cup B)\text{'}$ 

সুতরাং $(A\cup B)\text{'}=A\text{'}\cap B\text{'}$।
 

প্রতিজ্ঞা ২. সার্বিক সেট $U$ এর যেকোনো উপসেট $A$ ও $B$ এর জন্য $A\backslash B=A\cap B\text{'}$

প্রমাণ: মনে করি, $x\in A\backslash B$। তাহলে, $x\in A$ এবং $x\in B$।

                          $\Rightarrow x\in A$ এবং $x\in B\text{'} \Rightarrow x\in A\cap B\text{'}$

$\therefore A\backslash B\subseteq A\cap B\text{'}$।
 

আবার মনে করি, $x\in A\cap B\text{'}$। তাহলে, $x\in A$ এবং $x\in B\text{'}$।

                          $\Rightarrow x\in A$এবং $x\notin B \Rightarrow x\in A\backslash B$

$\therefore A\cap B\text{'}\subseteq A\backslash B$

সুতরাং, $A\backslash B=A\cap B\text{'}$
 

প্ৰতিজ্ঞা ৩. যেকোনো সেট $A,B,C$ এর জন্য

                     ক) $A\times \left(B\cap C\right)=\left(A\times B\right)\cap (A\times C)$

                      খ)$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
 

প্রমাণ:(কেবল প্রথমটির প্রমাণ নিচে দেখানো হয়েছে। পরেরটির প্রমাণ নিজে কর।)

ক) সংজ্ঞানুসারে, $A\times (B\cap C)$

$=\{\left(x,y\right): x\in A, x\in B$ এবং $y\in C\}$

$=\{\left(x,y\right): \left(x,y\right)\in A\times B$ এবং $\left(x,y\right)\in A\times C\}$

$\therefore A\times (B\cap C)\subseteq \left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$

আবার, $\left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$

$=\{\left(x,y\right):\left(x,y\right)\in A\times B$ এবং $\left(x,y\right)\in A\times C\}$

$=\{\left(x,y\right): x\in A, y\in B$ এবং $x\in A, y\in C$$\}$

$\therefore \left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)\subseteq A\times \left(B\cap C\right)$

সুতরাং, $A\times \left(B\cap C\right)=\left(A\times B\right)\cap \left(A\times C\right)$।