সপ্তম শ্রেণিতে বীজগণিতীয় প্রথম চারটি সূত্র ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে সেগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো।

(a + b)² এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (a + b) x (a + b) = (a + b)²

$\therefore$  (a + b)² = ax (a + b) + bx (a + b)

                      = a² + a² + a² + b² = a² + 2ab + b²
 

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

a × a + a × b+ b × a + b × b

      = a² + ab + ab + b²

      = a² + 2ab + b²

লক্ষ করি, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

$\therefore$ (a + b)² = a² + 2ab + b²

সপ্তম শ্রেণিতে যে সূত্র ও অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্পর্কে জেনেছি তা হলো :

সূত্র ১। (a + b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ + ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ১। (a - b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ – ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ৩। a² – b² = (a + b) (a – b)

কথায়, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল x রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র 8। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

কথায়, দুইটি দ্বিপদী রাশির প্রথম পদ একই হলে, তাদের গুণফল হবে প্রথম পদের বর্গ, স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের সমষ্টির সাথে প্রথম পদের গুণফল ও স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের গুণফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, (x + a)(x + b) = x² + (a এবং b এর বীজগণিতীয় যোগফল) x + (a এবং b এর গুণফল)

অনুসিদ্ধান্ত ১। a² + b² = (a + b)² – 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ২। a² + b² = (a – b)² + 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ৩। (a + b)²= (a – b)² + 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৪। (a – b)² = (a + b)² - 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৫। 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

অনুসিদ্ধান্ত ৬। 4ab = (a + b)² – (a - b)²

                    বা, $ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

উদাহরণ ১। $3x+5y$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(3x+5y)}^2=(3x{)}^2+ 2\times 3x\times 5y+{\left(5y\right)}^2$

                                     $=9x^2+30xy+ 25y^2$

উদাহরণ ২। বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে $25$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${\left(25\right)}^2={(20 + 5)}^2=(20{)}^2+ 2\times 20\times 5 +{\left(5\right)}^2$

                            $=400+200+25$

                            $=625$

উদাহরণ ৩। $4x–7y$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(4x–7y)}^2=(4x{)}^2–2\times 4x\times 7y+{\left(7y\right)}^2$

                                    $=16x^2–56xy+49y^2$

উদাহরণ ৪। $a+b=8$ এবং $ab=15$ হলে, $a^2+b^2$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^2+b^2={(a+b)}^2–2ab$

                               $={\left(8\right)}^2–2\times 15$

                               $=64-30$

                               $=34$

উদাহরণ ৫। $a-b=7$ এবং $ab=60$ হলে, $a^2+b^2$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : $a^2+ b^2={(a–b)}^2+2ab$

                                 $={\left(7\right)}^2+2\times 60$

                                 $=49+120$

                                 $=169$

উদাহরণ ৬। $x–y=3$ এবং $xy=10$ হলে, ${(x + y)}^2$এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(x+y)}^2={(x-y)}^2+4xy$

                                $={\left(3\right)}^2+4\times 10$

                                $=9+40$

                                $=49$

উদাহরণ ৭। $a+b=7$ এবং $ab=10$ হলে, ${(a–b)}^2$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${(a–b)}^2={(a+b)}^2-4ab$

                              $={\left(7\right)}^2–4\times 10$

                              $=49-40$

                              $=9$

উদাহরণ ৮। $x-\frac{1}{x}=5$ হলে, ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4.x.\frac{1}{x}$

                                     $={\left(5\right)}^2+4$

                                     $=25+4$

                                     $=29$

উদাহরণ ৯। সূত্রের সাহায্যে $3p+4$ কে $3p–4$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : $(3p+4)(3p-4 )={\left(3p\right)}^2–{\left(4\right)}^2 [\because (a + b\left)\right(a – b) = a2b2]$

                             $=9p^2–16$

উদাহরণ ১০। সূত্রের সাহায্যে $5m+8$ কে $5m+9$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : আমরা জানি, $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$\therefore (5m+8)(5m+9)={\left(5m\right)}^2+(8+9)\times 5m+8\times 9$

                                             $=25m^2+17\times 5m+72$

                                             $= 25m^2+85m 72$

উদাহরণ ১১। সরল কর : ${(5a-7b)}^2+2(5a-7b)(9b-4a)+{(9b-4a)}^2$

সমাধান : ধরি, $(5a-7b)=x$ এবং $9b-4a=y$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=x^2+2xy+y^2$

                     $=(x+y{)}^2$

                     $=(5a-7b+9b-4a{)}^2$

                     $=(a+2b{)}^2$

                     $=a^2+4ab+4b^2$

উদাহরণ ১২। $(x+6)(x+4)$ কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : আমরা জানি, $ab={\left(\frac{(a+b)}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

$\therefore \left(x+6\right)\left(x+4\right)={\left(\frac{x+6+x+4}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x+6-x+4}{2}\right)}^2$

                               $={\left(\frac{2x+10}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2}\right)}^2$

                               $={\left(x+5\right)}^2-1^2$

উদাহরণ ১৩। $x=4, y=-8$ এবং $z=5$ হলে, $25{\left(x+y\right)}^2-20\left(x+y\right)\left(y+z\right)+4{\left(y+z\right)}^2$ এর মান কত?

সমাধান : ধরি, $x+y=a$ এবং $y+z=b$

  $\therefore$প্রদত্ত রাশি $=25a^2-20ab+4b^2$

                      $=(5a{)}^2-2\times 5a\times 2b+(2b{)}^2$

                      $=(5a-2b{)}^2$

                      $=\left\{5\right(x+y)-2(y+z){\}}^2$          [a ও b এর মান বসিয়ে]

                      $=(5x+5y-2y-2z{)}^2$

                      $=(5x+3y-2z{)}^2$

                      $=\{5\times 4+3(-8)-2\times 5{\}}^2$         [x, y ও z এর মান বসিয়ে]

                      $=(20-24-10{)}^2$

                      $=(-14{)}^2=196$

${\left(a+b+c\right)}^2$ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

$(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c{)}^2$

$\therefore (a+b+c{)}^2=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)$

$=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ca+bc+c^2$

$=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2$

$\therefore (a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

$=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2$

$=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2$

$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

লক্ষ করি, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

$\therefore (a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

উদাহরণ ১৪।  $2x + 3y + 5z$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, $2x=a, 3y=b$ এবং $5z=c$

$\therefore$প্রদত্ত রাশির বর্গ $=(a+b+c{)}^2$

                            $=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

                      $=(2x{)}^2+(3y{)}^2+(5z{)}^2+2\times 2x\times 3y+2\times 3y\times 5z+2\times 2x\times 5z$ [a,bও c এর মান বসিয়ে]

                      $=4x^2+9y^2+25z^2+12xy+30yz+20xz$ 

$\therefore 4x+3y+5z{)}^2=4x^2+9y^2+25z^2+12xy+30yz+20xz$

উদাহরণ ১৫।  $15a-6b-7c$ এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(5a-6b-7c{)}^2=\{5a-(6b+7c){\}}^2$

                 $=(5a{)}^2-2*5a(6b+7c)+(6b+7c{)}^2$

                 $=25a^2-10a(6b+7c)+(6b{)}^2+2\times 6b\times 7c+(7c{)}^2$

                 $=25a^2-60ab-70ac+36b^2+84bc+49c^2$

                 $=25a^2+36b^2+49c^2-60ab+84bc-70ac$

বিকল্প সমাধান :

আমরা জানি, $(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$

এখানে, $5a=x,-6b=y$ এবং $-7c=z$ ধরে 

$(5a-6b-7c{)}^2=(5a{)}^2+(-6b{)}^2+(-7c{)}^2$

                                 $+$$2\left(5a\right)(- 6b) + 2(- 6b)(- 7c) + 2\left(5a\right)(- 7c)$

                           $=25a^2+36b^2+49c^2-60ab+84bc-70ac$