রাতুল আদর্শগ্রাম উচ্চ বিদ্যালয়ের ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী। চতুর্থ ও পঞ্চম শ্রেণিতে রাতুল ভগ্নাংশ সম্পর্কে জেনেছিল, তাই যখনই সম্ভব হয়, রাতুল ভগ্নাংশের ধারণা ব্যবহার করে হিসাব করে। কারণ ভগ্নাংশের মাধ্যমে আমরা খুব সহজেই নিজেদের মধ্যে জিনিস ভাগাভাগি করে নিতে পারি আবার পূর্ণ সংখ্যায় প্রকাশ করা যায় না এমন বিষয়গুলো বোঝার ক্ষেত্রে ভগ্নাংশ আমাদের সাহায্য করে। যেমন সেদিন রাতুলের মা পিঠা তৈরি করেছিলেন, সেখানে পাঁচটি পিঠা ছিল। রাতুল ঐ পাঁচটি পিঠা তার বোন রিয়ার সাথে ভাগ করে নিল। রিয়া তৃতীয় শ্রেণির শিক্ষার্থী। প্রথমে রাতুল নিজে দুইটি পিঠা নিল এবং রিয়াকেও দুইটি পিঠা দিল। এরপর ৫নং পিঠাটি রাতুল দুইটি সমান ভাগে ভাগ করে নিল। তারপর অর্ধেক পিঠা রিয়াকে দিল এবং বাকি অর্ধেক নিজের জন্য রাখল। রাতুল আর রিয়ার এই পিঠার ভাগাভাগি দেখে মা খুব খুশি হলেন।

চিন্তা করে বলো তো রাতুলের মতো কোন কোন ক্ষেত্রে তোমরা এভাবে ভগ্নাংশ ব্যবহার করেছ?

রাতুল আর রিয়া ভাগ করে যে পিঠা পেল তা যদি সংখ্যায় লিখে প্রকাশ করি কেমন হবে বলো তো? রাতুল জানত যে একটি পিঠার অর্ধেককে আমরা $\frac{১}{২}$ লিখতে পারি। এরপর পিঠা খাওয়ার সময় রাতুল রিয়াকে জিজ্ঞেস করল এখন যদি এই অর্ধেক পিঠাকে আবার সমান দুই ভাগ করি (ছবি ১) তাহলে তা একটি পূর্ণ পিঠার কত অংশ হবে?

রাতুলের প্রশ্ন শুনে রিয়া তার অর্ধেক পিঠাটিকে আবার সমান দুই ভাগে ভাগ করল এবং রাতুলের পিঠার পাশে রেখে দিল। দেখা গেল যে চারটি সমান ভাগ একসাথে করলে একটি।

সম্পূর্ণ পিঠা পাওয়া যায় (ছবি ২)। সুতরাং আমরা বলতে পারি, এই প্রতিটি অংশ ঐ পিঠাটির চার ভাগের এক ভাগ অথবা $\frac{১}{৪}$।আবার, এই চার ভাগ একসাথে করলে $\frac{৪}{৪}$  অথবা ১টি পূর্ণ পিঠা পাওয়া যায়।

রিয়া আর রাতুল পিঠা খেতে খেতে আরও আলোচনা করতে থাকল। আমরা যদি একটি পিঠার চারটি সমান ভাগের তিন ভাগ নেই তাহলে আমরা বলব $\frac{৩}{৪}$ (ছবি ৩)।

আবার যদি আমরা পিঠাকে ছয়টি সমান ভাগে ভাগ করে তিন ভাগ নেই তখন হবে $\frac{৩}{৬}$ (ছবি ৪)।

রিয়া তখন চিন্তা করে দেখল ভগ্নাংশ (Fraction) হলো এমন এক ধরনের সংখ্যা যা একটি পূর্ণ বস্তুর (Whole) (যেমন : এক্ষেত্রে পিঠা) অংশকে (Part) প্রকাশ করতে আমাদের সাহায্য করে। রাতুল খেয়াল করে দেখল যে, ভগ্নাংশে প্রকাশ করার জন্য পূর্ণ বস্তুর অংশগুলোকে সমান ভাগে ভাগ (equal) করা হয় যেমন: তারা পিঠাটিকে সমান দুই ভাগে এবং পরে সমান চার ভাগে ভাগ করেছিল।

এখন মনে করো, তুমি আর তোমার ৫ জন বন্ধু মিলে বাজার থেকে একই আকারের তিনটি তরমুজ কিনলে। এরপর ছবির মতো করে তোমাদের কেনা তরমুজগুলো কাটা হলো।

এবার তোমার নাম এবং তোমার ৫ জন বন্ধুর নাম লেখো এবং একটি তরমুজকে সম্পূর্ণ বা ১ অংশ বিবেচনা করে নিচের ছবিতে কে কত অংশ তরমুজ পেল তা প্রতিটি ঘরে ভগ্নাংশ আকারে লেখো।

এখন তোমাকে যদি প্রশ্ন করা হয় তুমি ও তোমার ৫ বন্ধুর মধ্যে কোন বন্ধুকে বেশি তরমুজ দেয়া হলো? এই প্রশ্নের উত্তর খুব সহজেই তুমি খুঁজে বের করতে পারবে যদি নিচের খেলাটি নিয়ম মেনে খেলতে পারো।

খেলার নাম: ভগ্নাংশের তুলনা প্রয়োজনীয় উপকরণ : ছক-কাটা কাগজ, রঙ পেন্সিল। নির্দেশনা : খেলার ধাপগুলো বুঝে নিতে শ্রেণিকক্ষে শিক্ষকের সহায়তা নিতে পারো। যদি তুমি বাসায় খেলাটি খেলতে চাও বাবা/মা/বড় ভাইবোনের কাছ থেকেও নিয়মটি বুঝে নিতে পারো। খেলার ধাপসমূহ : 🔸ছক কাটা কাগজ থেকে দুইটি স্ট্রিপ কেটে নাও। তারপর একটি স্ট্রিপকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে দুই ভাগ রঙ করবে। অর্থাৎ, $\frac{২}{৩}$ অংশ রঙ করবে। একইভাবে, আরেকটি স্ট্রিপ সমান চার ভাগ করে,তিন ভাগ খাতায় বসিয়ে রঙ করে ফেলবে। অর্থাৎ, $\frac{৩}{৪}$ অংশ রঙ করবে (নিচের ছবি লক্ষ করো)। 🔸এবার রঙ করা অংশ দুইটি তুলনা করো- কোনটি বড় কোনটি ছোট। দেখবে যে তুলনা করতে পারছ না। কারণ, দুইটি স্ট্রিপ্রেই ভাগ করা অংশ এবং রঙ করা অংশ আলাদা। 🔸এবার তাহলে সমান সাইজের দুইটি আয়তাকার ছক আঁকো। ছক দুইটিকে ছক ক ও ছক খ এই দুইটি নাম দাও। প্রয়োজনে শিক্ষকের নির্দেশনা অনুসরণ করো। এরপর, ছক “ক” কে লম্বালম্বিভাবে তিন ভাগ করে তার দুই ভাগ রঙ করবে (অর্থাৎ, $\frac{২}{৩}$ অংশ)। ছক “খ” তে আড়াআড়িভাবে চারটি দাগ দিয়ে তার তিন ভাগ রঙ করবে (অর্থাৎ, $\frac{৩}{৪}$ অংশ)। 🔸এর পরের ধাপে ছক- ক এর দাগগুলোর সমান করে ছক- খ তে আঁকো এবং ছক- খ এর দাগগুলোর সমান করে ছক- ক তে আঁকো (পরের ছবি লক্ষ করো)। তোমরা পর্যবেক্ষণ করবে যে দুইটি ছকের ঘর সংখ্যা একই। যেমন: উপরিউক্ত চিত্রের ভাগসংখ্যা হয়ে যাবে ১২টি (নিচের ছবি)। মোট ঘর সংখ্যাকে হর বলতে পারি এবং এই সংখ্যাটিকে ছকের উপরে লেখা ভগ্নাংশের হরের স্থানে লিখে ফেলো। 🔸এবার তোমরা তোমাদের রঙ করা অংশের ঘর সংখ্যা গুনে বের করো। তোমরা গুনে যেই সংখ্যাটা পাবে সেই সংখ্যাটাকে উপরে লিখো। যেমন: নিচের ছবিতে ক ছকে রঙ করা অংশ ৮টি এবং খ ছকে রঙ করা অংশ ৯টি। এই সংখ্যা দুইটি, ভগ্নাংশ দুইটির লব। এবার নিচের ছবির মতো করে লেখো।

টিপস: আয়তাকার ঘর বা গ্রিডগুলো নির্দেশনা অনুসারে আঁকতে পারছ কি না তা অবশ্যই খেয়াল রাখতে হবে।

এবার একটি মজার বিষয় খেয়াল করো, প্রশ্ন-১ ও প্রশ্ন-২ নং এ তোমরা খুব সহজেই উত্তর খুঁজে বের করতে পারলে, কিন্তু প্রশ্ন-৩ এর ক্ষেত্রে তোমরা একই নিয়মে উত্তর খুঁজে পেলে না, তাই না? প্রশ্ন-৩ এর ক্ষেত্রে কী পার্থক্য পেয়েছিলে চিন্তা করো।

পার্থক্যটি হলো এখানে প্রতিটি ভগ্নাংশের হর আলাদা। এদের মধ্যে তুলনা করতে হলে প্রতিটি ভগ্নাংশের হরকে একই হরে পরিণত করতে হবে। একই হরে পরিণত করতে হলে আমাদের প্রথমে ঐ দুইটি হরের লসাগু বের করতে হবে। কীভাবে লসাগু, হিসাব করতে হয় তা তোমরা আগের শ্রেণিতে জেনে এসেছো।

উদাহরণস্বরূপ, $\frac{২}{৩}$এবং $\frac{৬}{১০}$ভগ্নাংশ দুইটির হর আলাদা। এই দুইটির মধ্যে কোনটি বড় আমরা যদি বের করতে চাই তাহলে প্রথমে আমাদের ৩ ও ১০ এর লসাগু বের করতে হবে। ৩ ও ১০ এর লসাগু হলো ৩০। তাহলে প্রতিটি ভগ্নাংশের হরকে ৩০ বানাতে হবে। $\frac{২}{৩}$ভগ্নাংশের হরকে ৩০ বানানোর জন্য এর লব ও হরকে ১০ দ্বারা গুণ করতে হবে। তাহলে $\frac{২}{৩}$, $\frac{২০}{৩০}$ পরিণত হবে। একইভাবে,  হবে $\frac{১৮}{৩০}$ । এবার তুলনা করে দেখা যাচ্ছে যে, $\frac{২০}{৩০}$এবং $\frac{১৮}{৩০}$ এর মধ্যে $\frac{২০}{৩০}$ ভগ্নাংশটি বড়। সুতরাং, $\frac{২}{৩}$এবং $\frac{৬}{১০}$ ভগ্নাংশ দুইটির মধ্যে $\frac{২}{৩}$ ভগ্নাংশটি বড়।

হর আলাদা হলে কীভাবে দুইটি ভগ্নাংশের মধ্যে তুলনা করা যায় তা নিশ্চয় বুঝতে পারলে। এবার তাহলে উপরের ছকের প্রশ্ন-৩ সমাধান করো।

এবার আমরা রাতুলের কাছে ফিরে যাই। রাতুল পরের দিন স্কুলের টিফিনে মায়ের তৈরি ৫টি পিঠা নিয়ে গেল। টিফিনের সময় তার বন্ধু মিলি, হারুন, তানিয়ার সাথে পিঠা ভাগ করে খাবে। কিন্তু এই ৫টি পিঠাকে ৪ জনের মধ্যে কীভাবে ভাগ করবে – রাতুল ভাবতে লাগল। তখন তানিয়া বলল, এখানে ৫টি পিঠা আছে এবং আমরা ৪ জন এর মধ্যে ভাগ করব, তাহলে আমরা প্রত্যেকে ১টি করে পিঠা নিব এবং সর্বশেষ পিঠাটি ৪ ভাগ করে প্রত্যেকে ১ ভাগ করে নিব। তাহলে তারা প্রত্যেকে পিঠার কত অংশ পাবে সেটা কি যোগ করে বের করা সম্ভব? তোমরা পঞ্চম শ্রেণিতে ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ সম্পর্কে জেনেছ। সেই অনুসারে নিচের যোগটি করে খালি ঘরে লেখো।

উপরের আলোচনা থেকে আমরা বুঝতে পারলাম যে রাতুল ও তার বন্ধুরা প্রত্যেকে পিঠার $\frac{৫}{৪}$ অংশ পাবে। এখানে একটি বিষয় খেয়াল করে দেখো, $\frac{৫}{৪}$ভগ্নাংশটির লব হরের চেয়ে বড়। এ ধরনের ভগ্নাংশ অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper fraction) নামে পরিচিত। আবার $\frac{৫}{৪}$ ভগ্নাংশটিকে আমরা ভেঙ্গে $১\frac{১}{৪}$  আকারে লিখতে পারি, যেখানে ভগ্নাংশটিকে একটি পূর্ণ সংখ্যা ও একটি ভগ্নাংশের সমন্বয়ে লেখা হয়েছে। এরূপ, একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তা হলো মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed fraction)। $১\frac{১}{৪}$ভগ্নাংশটি একটি মিশ্র ভগ্নাংশ । সুতরাং আমরা বুঝতে পারলাম যে  মিশ্র ভগ্নাংশ আলাদা কিছু নয়। আবার ভগ্নাংশটিকে আমরা ভেঙ্গে ১ আকারে লিখতে পারি, যেখানে ভগ্নাংশটিকে 8 একটি পূর্ণ সংখ্যা ও একটি ভগ্নাংশের সমন্বয়ে লেখা হয়েছে। এরূপ, একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং একটি ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তা হলো মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed fraction)। ১ - ভগ্নাংশটি একটি মিশ্র ভগ্নাংশ । সুতরাং আমরা বুঝতে পারলাম যে 8 মিশ্র ভগ্নাংশ আলাদা কিছু নয়।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে ( $\frac{৫}{৪}$ ) আমরা মিশ্র ভগ্নাংশ আকারে ($১\frac{১}{৪}$) প্রকাশ করতে পারি।

এবার চলো মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে কীভাবে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তা দেখে নেই।

$১\frac{২}{৫}=\frac{৫\times ১+২}{৫}$ $=\frac{৫+২}{৫}=\frac{৭}{৫}$

১। নিচের রঙ করা অংশগুলো ভগ্নাংশ আকারে লিখে প্রকাশ করো।

২। ছবির পাশে দেয়া ভগ্নাংশগুলো প্রকাশের জন্য ছবির নির্দিষ্ট অংশ রঙ করো। একটি করে দেখানো হলো।

৩। নিচের ৪ জোড়া ভগ্নাংশের মধ্যে কোনটি বড় এবং কোনটি ছোট খুঁজে বের করো।

৪) নিচের মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে কাগজে গ্রিড এঁকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

ক) $২\frac{৩}{৭}$

খ) $৫\frac{৫}{৮}$

গ) $৩\frac{২}{৫}$

ভগ্নাংশের যোগ বিয়োগ

   চলো গ্রিডের সাহায্যে ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগের কৌশল জেনে নেই।

গ্রিড এঁকে নির্দিষ্ট অংশ রঙ করে ভগ্নাংশের যোগ অথবা বিয়োগের ফলাফল খাতায় লেখো।

ক) $\frac{১}{৪}+\frac{১}{৪}$

খ) $\frac{১}{৫}+\frac{২}{৫}$

গ) $\frac{৪}{৫}+\frac{৬}{৫}$

ঘ) $\frac{৩}{৭}+\frac{১}{৩}$

ঙ) $\frac{৫}{৭}-\frac{২}{৭}$

চ) $\frac{১}{৫}-\frac{১}{১০}$

ছ) $\frac{৪}{৫}-\frac{২}{৩}$

জ) $\frac{৫}{৬}-\frac{১}{৪}$

ভগ্নাংশ ও পূর্ণসংখ্যার গুণ

মোট পরিমাণ বের করার জন্য আমরা নিচের বাক্যটি ব্যবহার করতে পারি।

এখানে,

চলো হিসাব করি,

$\frac{২}{৭}\times ৩=\frac{২\times ৩}{৭}=\frac{৬}{৭}$ লিটার।

এবার চলো $\frac{৫}{১২}\times ৬$ কীভাবে হিসাব করা যায় চিন্তা করি।

নিচের গুণগুলো তুলনা ও ব্যাখ্যা করি।

গুণের অর্থ:

তোমরা চিন্তা করে বলো তো <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>২</mi><mi>৫</mi></mfrac><mo>×</mo><mi>৩</mi></math> এর অর্থ কী? এ ধরনের গুণ অঙ্ক আমরা কীভাবে করতে পারি?

তোমাদের নিশ্চয়ই ‘বার বার যোগ করে গুণফল বের করার পদ্ধতি' এর কথা মনে আছে। তাই না?

আচ্ছা চলো <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>২</mi><mi>৫</mi></mfrac><mo>×</mo><mi>৩</mi></math> এর অর্থ খোঁজার চেষ্টা করি,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>২</mi><mi>৫</mi></mfrac><mo>×</mo><mi>৩</mi></math> এর অর্থ হচ্ছে  $\frac{২}{৫}$ কে ৩ বার নেয়া। অর্থাৎ $\frac{২}{৫}$ কে ৩ বার যোগ করলেই আমরা গুণফল পেয়ে যাব।

অর্থাৎ $\frac{২}{৫}+\frac{২}{৫}+\frac{২}{৫}=\frac{২\times ৩}{৫}=\frac{৬}{৫}$

এবার চলো অন্যভাবে সমস্যাটির সত্যতা যাচাই করি : 

কাগজের স্ট্রিপ কিংবা বৃত্তাকার কাগজ ব্যবহার করে এই সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করি। তোমরা সবাই নিজেদের মতো করে কাগজের স্ট্রিপ নিয়ে এই কাজটি করার চেষ্টা করবে।

 ১টি স্ট্রিপ নিয়ে প্রত্যেকটিকে প্রথমে সমান ৫ ভাগ করে ২টি ভাগ নাও। তাহলে, এই ২ ভাগ হবে $\frac{২}{৫}$সমান। তারপর, $\frac{২}{৫}$ এর ৩টি গুচ্ছ তৈরি করো [২টি $\frac{১}{৫}$ এর টুকরা নিয়ে $\frac{২}{৫}$এর একটি গুচ্ছ তৈরি হবে, এরকম মোট ৩টি গুচ্ছ হবে]। $\frac{১}{৫}$ এর স্ট্রিপ ব্যবহার করলে সমাধানটি দেখতে নিচের চিত্রের মতো হবে।

এবার, টুকরোগুলো গুণে দেখো, মোট ৬টি $\frac{১}{৫}$এর টুকরা আছে বা $\frac{২}{৫}$এর ৩টি গুচ্ছ আছে। অর্থাৎ $\frac{২}{৫}\times ৩=\frac{৬}{৫}$।

আমরা চাইলে, গুণফলটিকে নিচের মতো করেও লিখতে পারি -

তাহলে, $\frac{২}{৫}\times ৩=\frac{১}{৫}$ এর (২ × ৩) একক = $\frac{১}{৫}$এর ৬ একক = $\frac{৬}{৫}$ একক

ভগ্নাংশ ও পূর্ণসংখ্যার ভাগ

$\frac{৪}{৫}$লিটার শরবত ২ জনকে সমানভাবে ভাগ করে দিলে প্রত্যেকে কত লিটার শরবত পাবে?

সমস্যাটিকে গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে প্রকাশ করো :

এবার ভেবে দেখো তো, $\frac{৪}{৫}$ লিটার শরবত যদি ৩ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করি, তাহলে কীভাবে করতে হবে?

চলো এখন গ্রিডের সাহায্যে $\frac{৪}{৫}÷৩=\frac{৪}{৫\times ৩}$  কেন হয় তার কারণ চিন্তা করি।

এবার, একইভাবে গ্রিডের সাহায্যে $\frac{৪}{৫}÷২$  নির্ণয়ের চেষ্টা করি।

ভগ্নাংশে ভগ্নাংশে গুণ

চলো হিসাব করি : $\frac{৪}{৫}\times ২=\frac{৮}{৫}$বর্গমিটার

(২) $\frac{১}{৩}$ডেসি লিটার রং দ্বারা কত বর্গমিটার জায়গা রঙিন করা যাবে?

সংখ্যারেখায় দেখা যায় $\frac{৪}{৫}\times \frac{১}{৩}=\frac{৪}{৫}÷৩$ এর সমান।

(৩) $\frac{২}{৩}$ ডেসি লিটার রং দ্বারা কত বর্গমিটার ক্ষেত্রফল রঙিন করা যাবে? এখানে,

গাণিতিক বাক্য : $\frac{৪}{৫}\times \frac{২}{৩}$

প্রথমে চলো সংখ্যারেখার মাধ্যমে বোঝার চেষ্টা করি :

:- $\frac{২}{৩}$ডেসি লিটার দ্বারা রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল $=২\times (\frac{১}{৩}$ ডেসি লিটার দ্বারা রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল)

এখানে, নিচের গ্রিডের সাহায্যে চিন্তা করো :

গ্রিড থেকে দেখা যাচ্ছে :

• $২\frac{১}{৩}\times ১\frac{২}{৫}$ কীভাবে হিসাব করা যায় তা তুলনা ও ব্যাখ্যা করি।

• $\frac{১২}{২৫}\times \frac{৫}{৬}$ কীভাবে হিসাব করা যায় তা তুলনা ও ব্যাখ্যা করি।

• ভগ্নাংশের গুণের পদ্ধতি ব্যবহার করে নিচের সমস্যাটির সমাধান করো।

▪️গুণ না করে কীভাবে গ্রিডের সাহায্যেই ভগ্নাংশের গুণ দেখানো যায় তা দলগত আলোচনার মাধ্যমে বের করো। প্রয়োজনে শিক্ষককে প্রশ্ন করো।

▪️শিক্ষকের প্রদত্ত গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করে দলের মধ্যে খাতা বদল করে সঠিকতা যাচাই করো।

           বিপরীত ভগ্নাংশ (Reciprocal of Fraction)

রিয়া এবং রাতুল একটি মজার খেলা খেলছে। রিয়া রাতুলকে বলল, আমি একটি ভগ্নাংশ আমার খাতায় লিখব। তোমাকে এমন একটি ভগ্নাংশ লিখতে হবে যেন ভগ্নাংশ দুইটির গুণফল ১ হয়।

তোমরা রাতুলের মতো একটু চিন্তা করে বল তো রাতুলের লেখা ভগ্নাংশটি সঠিক কিনা? আচ্ছা চলো আমরা হিসাব করে দেখি:

দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ১ কেন হতেই হবে?

খেলাটির একটি নাম দেয়া দরকার। এই খেলাটির নাম হলো বিপরীত ভগ্নাংশের (Reciprocal of Fraction) খেলা। একটু ভেবে দেখো তো, খেলাটির আর কোনো নাম দেয়া যায় কিনা। আমরা খেলাটির আরও একটি নাম দিতে পারি। নামটি হলো- গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশের (Multiplicative Inverse) খেলা।

তাহলে আমরা বলতে পারি,

শূন্য নয় এরূপ দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ১ হলে তাদের যেকোনো একটি ভগ্নাংশ, অপরটির বিপরীত ভগ্নাংশ বা গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ।

তবে খেয়াল রেখো তোমরা ঋণাত্মক সংখ্যার ধারণা থেকে ‘যোগাত্মক বিপরীত' (Additive Inverse) এর যে ধারনা পেয়েছ সেটা কিন্তু আলাদা। দুইটি ভগ্নাংশের যোগফল শূন্য (০) হলে একটিকে অপরটির 'যোগাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ' বলতে পারো।

গ্রিডে বিপরীত ভগ্নাংশ

চলো গ্রিডের সাহায্যে ভগ্নাংশের গুণফলের ধারণা ব্যবহার করে ভগ্নাংশগুেলোর বিপরীত ভগ্নাংশ নির্ণয় করি।

রাতুল ও রিয়ার খেলাটি বিশ্লেষণ করে এবং গ্রিডের উদাহরণের মাধ্যমে আমরা নিচের সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি -

রবিন এরপর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দুইটাই জানার জন্য একটা সহজ বুদ্ধি বের করল।

সে তার বন্ধু শিশিরকে নিয়ে রোজ জাদুর মাঠে যেত। এরপর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপের জন্য ছবির মতো করে দুইজন মাঠের দুইদিক বরাবর একই গতিতে হাঁটা শুরু করত। যখনই যেকোনো একজন মাঠের শেষ প্রান্তে চলে যেত অর্থাৎ দৈর্ঘ্য অথবা প্রস্থ কোনো একটা পেয়ে যেত তখন সে জোরে চিৎকার করে অপর বন্ধুকে থামতে বলত। এরপর অপর বন্ধুকে আর সম্পূর্ণ দূরত্ব হাঁটতে হতো না। দৈর্ঘ্য অথবা প্রস্থ যেকোনো একটা দূরত্ব পাওয়া গেলেই সেখান থেকে তারা অন্য দূরত্বটি নির্ণয় করত। দেখত তোমরাও নিচের দিনগুলোর ঘটনাগুলোর ক্ষেত্রে একই বুদ্ধিতে বের করতে পারো কিনা।

ভগ্নাংশে ভগ্নাংশে ভাগ

প্রথমে সংখ্যা রেখার সাহায্যে সমস্যাটিকে গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

চিত্র ব্যবহার করে $\frac{৩}{৫}÷\frac{১}{৩}$ কীভাবে হিসাব করা যায় তা চিন্তা করি।

আমরা ১ ডেসি লিটার রং দ্বারা রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব।

এবার উপরের দুইটি সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির সাহায্য নিয়ে নিচের সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করা যাক।

নিচের সমস্যাটি সমাধান করো

চলো এবার আমরা আরও কয়েকটি উপায়ে ভগ্নাংশের ভাগের সঠিকতা যাচাই করি।

🔳 বিপরীত ভগ্নাংশের মাধ্যমে :

ভাজ্য ও ভাজককে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করলে ভাগফলের কোনো পরিবর্তন হয় না। 

যেমন: ৬÷২=৩ তাহলে, (৬×৫) ÷ (২× ৫) = ৩০÷১০=৩

আবার, (৬÷২)÷(২÷২)=৩÷১=৩

ভগ্নাংশের ক্ষেত্রেও সমতুল ভগ্নাংশ নির্ণয়ে আমরা লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করে থাকি। দুটি ভগ্নাংশের ভাগের ক্ষেত্রেও আমরা একই ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

$\frac{৩}{৫}÷\frac{২}{৩}=(\frac{৩}{৫}\times \frac{৩}{২})÷(\frac{২}{৩}\times \frac{৩}{২})$

   $=(\frac{৩}{৫}\times \frac{৩}{২})÷১=\frac{৩}{৫}\times \frac{৩}{২}$

   $=\frac{৩\times ৩}{৫\times ২}=\frac{ }{ }$?

ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ ও ভাগের ধারণা এবং বিপরীত ভগ্নাংশের মাধ্যমে চাইলে আরও বেশ কিছু উপায়ে দুইটি ভগ্নাংশের ভাগ করা যায়। এমন একটি উপায় দেখানো হলো নিচে :

$=\left(\frac{(৪÷২)}{(৯÷৩)}\times \frac{২}{৩}\right)÷\frac{২}{৩}$ 

$=\frac{(৪÷২)}{(৯÷৩)}\times \frac{২}{৩}÷\frac{২}{৩}$ 

=$\frac{(৪÷২)}{(৯÷৩)}\times \left(\frac{২}{৩}÷\frac{২}{৩}\right)$

$=\frac{(৪÷২)}{(৯÷৩)}\times ১$ 

$=\frac{(৪÷২)}{(৯÷৩)}$

$=\frac{ }{ }?$ 

তাহলে, উপরের সবগুলো পদ্ধতি অনুসারে আমরা বলতে পারি :

সুবর্ণপুরের বাঁশিওয়ালা

এবার প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

ক) বুড়িমা কয়টি স্বর্ণমুদ্রা পাবে?

খ) মুচি কয়টি স্বর্ণমুদ্রা পাবে?

গ) কামার কয়টি স্বর্ণমুদ্রা পাবে?

ঘ) বশিরের কাছে অবশিষ্ট কয়টি স্বর্ণমুদ্রা থাকবে?

দশমিকের স্থানীয় মানের খেলা

পূর্ববর্তী শ্রেণিতে তোমরা দশমিকের স্থানীয় মান সম্পর্কে জেনেছ। এ পর্যায়ে একটি খেলার মাধ্যমে তোমরা দশমিকের স্থানীয় মান খুব সহজে বের করতে পারবে। শিক্ষকের সহায়তায় নিচের নির্দেশনাগুলো অনুসরণ করে তোমার সহপাঠীর সাথে খেলাটি খেলবে। বাড়িতেও এ খেলাটি চেষ্টা করতে পারো।

খেলার ধাপ

■ শিক্ষকের নির্দেশনা অনুযায়ী তোমার সহপাঠীর সাথে একটি জোড়া তৈরি করো।

■ প্রথমে নিচের ছবির মতো করে একটি সাদা A4 সাইজের কাগজকে চারটি ভাগে ভাগ করো। এরপর তা থেকে একটি টুকরা নিয়ে তোমরা খেলাটি শুরু করবে।

■ ছবির মতো কাগজে ভাঁজ করে সংখ্যা বানানোর পদ্ধতিটি শিক্ষকের কাছ থেকে দেখে নাও। তোমরা দশমাংশ থেকে সহস্রাংশ পর্যন্ত যেকোনো ঘর পর্যন্ত এই পদ্ধতিতে সিক্রেট নম্বর তৈরি করবে। যেমন: ০.৭৯৮৩ সংখ্যাটি কীভাবে তৈরি করা যায় তা ছবির মাধ্যমে দেখানো হল- 

■ প্রথমে কাগজের একদম ডান পাশে ০.০০০৩ সংখ্যাটি লিখতে হবে।

■বাম পাশের “০” এর প্রান্ত থেকে কাগজটি ভাঁজ করে দশমিকের পর “০” তিনটি ঢেকে শুধুমাত্র “৩” অঙ্কটি বের করা হবে।

■ এরপর কাগজের উপর ০.০০৮ সংখ্যাটি লিখতে হবে।

 ■ এরপর একইভাবে কাগজ ভাঁজ করে এবং সংখ্যা লিখে কাগজে নিম্নের চিত্রের মতো সবশেষে ০.৭৯৮৩ সংখ্যাটি তৈরি করতে হবে।

■ তোমার বানানো ভাঁজ করা কাগজটি তোমার শিক্ষককে দেখিয়ে নাও। যেমন উপরের চিত্রে ০.৭৯৩৮ দেখা যাচ্ছে। আবার, ভাঁজ খুলে প্রতিটি সংখ্যার স্থানীয় মান কত তা দেখা যায় কিনা পর্যবেক্ষণ করে দেখো। যেমন: নিম্নের চিত্রে ০.৭৯৩৮ সংখ্যাটির প্রতিটি ঘরের স্থানীয় মান দেখা যাচ্ছে।

 ■ তোমরা নিজেদের তৈরি করা কাগজ সংরক্ষণ করবে এবং নিজেদের কাজ যাচাই করবে। সবশেষে, শিক্ষক তোমাদের কাজের সঠিকতা যাচাই করবেন।

■ প্রতিবার সংখ্যা বানানোর পর সংখ্যাটি অবশ্যই খাতায় কথায় এবং অঙ্কে লিখে রাখবে।

দশমিক ভগ্নাংশের যোগ-বিয়োগ এবং সাধারণ ভগ্নাংশের যোগ-বিয়োগের সম্পর্ক

দশমিক ভগ্নাংশ ও পূর্ণ সংখ্যার গুণ

০.৪ × ৩ =?

সংখ্যারেখা ও গ্রিডের মাধ্যমে সমাধান করো।

শিক্ষকের নির্দেশ না অনুসারে নিজেদের খাতায় আঁকো এবং গুণফল খাতায় লেখো। 
এবার গ্রিড বা আয়তাকার ঘরের মাধ্যমে উপরের গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করো।
এখন প্রত্যেকের খাতায় তিনটি গ্রিড আঁক যাদের প্রত্যেকটি দশ ভাগে ভাগ করা থাকবে।

এবার ০.৪ × ৩ = নির্ণয় করার জন্য ০.৪ কে ৩ বার নাও। 
এরপর, গ্রিডের মাধ্যমে গুণে দেখো ০.৪ কে ৩ বার নিলে গুণফল কত হয়? 
চলো গ্রিডের সাহায্যে কীভাবে গুণফল নির্ণয় করা নির্ণয় হলো তা দেখি:

গ্রিডের মাধ্যমে গুণ করার পদ্ধতি থেকে আমরা ০.৪ × ৩ = ১.২ এই গুণটি করার জন্য একটা সহজ উপায় খুঁজে পেলাম।

আর এটাই দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করার প্রচলিত পদ্ধতি।

দশমিক ভগ্নাংশ ও পূর্ণ সংখ্যার ভাগ

০.৬ ÷ ৩ = ?

সংখ্যারেখা ও গ্রিডের মাধ্যমে সমাধান করো।

শিক্ষকের নির্দেশনা অনুসারে  ভাগফল খাতায় লেখো। এবার গ্রিড বা আয়তাকার ঘরের মাধ্যমে উপরের গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করো।

এরপর, গ্রিডের মাধ্যমে গুণে দেখো ০.৬ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল কত হয়? এবার গ্রিডের সাহায্যে কীভাবে ভাগফল নির্ণয় করা হলো তা দেখি:

গ্রিডের মাধ্যমে ভাগ করার পদ্ধতি থেকে আমরা ০.৬ : ৩ = ০.২ ভাগটি করার জন্য একটা সহজ উপায় খুঁজে পেলাম।

আর এটাই দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করার প্রচলিত পদ্ধতি।

দশমিকে দশমিকে গুণ

চলো চিন্তা করে বের করি- দশমিক ভগ্নাংশের সাথে অন্য একটি দশমিক ভগ্নাংশ কীভাবে গুণ করা যায়? পূর্ণসংখ্যার গুণের মতোই নাকি অন্য কোনো উপায়ে? নিচের গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান চিন্তা করি।

আর এটাই দশমিক ভগ্নাংশকে অন্য একটি দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করার প্রচলিত পদ্ধতি।

দশমিকে দশমিকে ভাগ

চলো চিন্তা করে বের করি- দশমিক ভগ্নাংশের সাথে অন্য একটি দশমিক ভগ্নাংশ কীভাবে ভাগ করা যায়? পূর্ণসংখ্যার ভাগের মতোই, নাকি অন্য কোনো উপায়ে? নিচের গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান চিন্তা করি।

১.২ ÷ ০.৩ = ?

ইতোমধ্যেই তোমরা জেনেছ,

আমরা আরও একটি উপায়ে দশমিকে দশমিকে ভাগের ব্যাপারে ধারণা পেতে পারি। ভাজ্য ও ভাজককে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করলে ভাগফলের কোনো পরিবর্তন হয় না। চলো এই নীতি ব্যবহার করে আমরা দশমিকে দশমিকে ভাগ করার চেষ্টা করি।

১.২ ÷ ০.৩ = (১.২ ×১০) ÷ (০.৩× ১০) = ১২ ÷ ৩ = ৪

উপরের আলোচনা থেকে আমরা ১.২ ÷ ০.৩ = ৪ এই ভাগফল নির্ণয়ের একটা সহজ উপায় খুঁজে পেলাম।

১। চিত্রের মাঝের ভগ্নাংশগুলো ব্যবহার করো। উপরের দিকে যাওয়ার সময় প্রতি জোড়া গুণ করে খালি স্থান পূরণ করো এবং নিচের দিকে যাওয়ার সময় প্রতি জোড়ার বামের ভগ্নাংশটিকে ডানের ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করো। এভাবে উপরের ও নিচের সর্বশেষ ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

২। রিয়া তার বাড়ির সামনের বাগানের তিন দিকে বেড়া দিতে চায়। বাগানের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার, ১৩.৫ মিটার এবং ১২.৩ মিটার। বেড়া দিতে রিয়ার মিটারপ্রতি ৭৫.৭৫ টাকা খরচ হয়।

ক) রিয়াকে কত মিটার বেড়া দিতে হবে?

খ) বেড়া দিতে রিয়ার মোট কত টাকা খরচ হবে?

৩) নিচের চিত্রগুলোর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

৪।

উপরের চিত্রটি লক্ষ করো এবং আমাদের শরীর সম্পর্কে ভাবো।

ক) তোমার মস্তিষ্কের ভর কত কেজি?

খ) মাথার হাড়ের সংখ্যা তোমার মোট হাড়ের সংখ্যার অংশ হলে, তোমার মোট কতগুলো হাড় আছে?

গ) সুস্থ থাকার জন্য তোমার শরীরে মোট কত কেজি পানি থাকা প্রয়োজন?

৫। রাতুল তার আয়তাকৃতি বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর প্রতিটি সারিতে যথাক্রমে চারটি ও তিনটি করে ফুলের চারা রোপণ করে। পাশাপাশি দুইটি চারার মধ্যকার দূরত্ব- মিটার। ছবি এঁকে চিন্তা করো।

ক) রাতুলের বাগানটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

খ) রাতুল বাগানে মোট কয়টি ফুলের চারা রোপণ করেছে?

৬। রিয়ার পরিবারের সদস্য সংখ্যা ৮। রিয়া সকলকে সমপরিমাণ চা পরিবেশন করার জন্য ০.৫৬ লিটার চা তৈরি করে। কিন্তু রিয়া চা পান করে না। প্রত্যেকের কাপে কত লিটার চা থাকবে?

৭। রাতুল বাজার থেকে ১০৫ টাকা কেজি দরে ১.৫ কেজি ডাল, ৪৫.৫০ টাকা কেজি দরে ৫ কেজি পিঁয়াজ ক্রয় করে। সে দোকানদারকে কত টাকা দিবে?

৮। সুমন সাইকেলে চড়ে প্রতি ঘণ্টায় ৮ কিলোমিটার পথ যেতে পারে।

ক) সুমন ৬ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার পথ যেতে পারবে?

খ) ৩০কিলোমিটার পথ যেতে সুমনের কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

৯। অহনা ও তার ছোট ভাইয়ের জন্য সালাদ তৈরি করতে গিয়ে অহনা সালাদের উপকরণ হিসেবে নিচের জিনিসগুলো ব্যবহার করেছে।

ক) অহনার তৈরি করা সালাদের ওজন কত কেজি?

খ) মা-বাবাসহ পরিবারের মোট ৫ জন সদস্যের জন্য সালাদটি তৈরি করতে হলে সালাদের প্রয়োজনীয় উপকরণগুলো ছক আকারে উপস্থাপন করো এবং মোট কত কেজি সালাদ তৈরি করলে তা নির্ণয় করো।