light mode
night mode
উচ্চতর গণিত
উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্সের সরল নির্ণায়ক নির্ণায়কের ধর্মাবলি নির্ণায়কের ধর্ম ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরণের সমস্যা সমাধান নির্ণায়কের অনুরাশি ও সহগুনক নির্নায়কের মান নির্নয় বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স একঘাত সমীকরণ জোট বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে ক্রেমারের নিয়মে ভেক্টর দ্বিমাত্রিক ও ক্রিমাত্রিক জগতে i, j, k একটি ভেক্টরকে i, j, k দ্বারা প্রকাশ সমতলে ভেক্টরের অংশক সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ভেক্টরের গুণন স্কেলার গুণন ভেক্টর গুণন সরল রেখা কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সঞ্চারপথের সমীকরণ সরলরেখার ঢাল বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হওয়ার শর্ত কোন বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ বৃত্ত নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ বৃত্তের স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য দুইটি বৃত্তের সধারণ জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় বিন্যাস ও সমাবেশ বিন্যাস কি ? n! দ্বারা কি বুঝায়? বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সমাবেশ কি? সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র ও এর প্রয়োগ সম্পূরক সমাবেশ শর্তাধীন সমাবেশ ক্রিকোণমিতিক অনুপাত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ধারণা ত্রিকোণমিতিক রাশির পরিচয় এবং তাদের মূলসূত্র কোণের ডিগ্রি,রেডিয়ান পরিমাপ চতুর্ভাগ অনুযায়ী ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের চিহ্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের সংজ্ঞা সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত গুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত উপগুনিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত ত্রিকোনমিতিক অভেদ ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র অন্বয় ও ফাংশন ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ বিভিন্ন ধরণের ফাংশন এক-এক ফাংশন সার্বিক ফাংশন সংযোজিত ফাংশন অভেদ ফাংশন ধ্রুবক ফাংশন বিপরীত ফাংশন বিপরীত ফাংশনের ডোমেইম এবং রেঞ্জ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায় কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের লেখচিত্র দ্বিঘাত ফাংশন সূচক ফাংশন লগারিদমিক ফাংশন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পরমমান ফাংশন অন্তরীকরণ লিমিট লিমিট হিসাবে অন্তরজ একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ অন্তরজের ধারণা থেকে কোন বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক ও অভিলম্বের ঢাল ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যোগজীকরণ অনির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা বাস্তব সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যার উপসেট পরমমান সম্বলিত অসমতা এক চলকের অসমতাকে সংখ্যারেখার সাহায্যে সমধান যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear progamming) যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের ধারণা মূল ধারণাসমূহ গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনাল কনসেপ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সুবিধা ও চ্যালেঞ্জসমূহ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামে সমস্যা গঠন যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের এর শর্ত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের বাস্তব জীবনের প্রয়োগ গাণিতিক মডেল তৈরি জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) জটিল সংখ্যার ধর্ম জটিল সংখ্যা ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Argand diagram) জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) ও নতি (আর্গুমেন্ট) জটিল সংখ্যার বর্গমূল একের ঘনমূল সম্পর্কিত সমস্যা বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomials and Polynomials Equations) দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন ত্রিঘাত সমীকরণ দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions) দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্য পদ ও সমদূরবর্তী পদ অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি কনিক (Conics) পরাবৃত্ত উপবৃত্ত অধিবৃত্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Inverse Trigonometric Functions and Trigonometric Equations) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন কী? বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণাবলী ও গাণিতিক ব্যাখ্যা sin −1 (x),cos −1 (x),tan −1 (x) এর সংজ্ঞা বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণ বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংমিশ্রণ স্থিতিবিদ্যা (Statics) স্থিতিবিদ্যার পরিচয় বল ও শক্তির বেসিক ধারণা বহুবিধ বলের কার্যকারিতা লিভার (Levers) এবং তার প্রকারভেদ গোলোক (Couple) এবং তার প্রভাব পিভট (Pivot) ও তার ব্যবহার নমনীয়তা (Elasticity) এবং তার সম্পর্ক . এ্যাঙ্গেল (Angle) এবং তার প্রভাব সমতলে বস্তুকণার গতি (Motion of particles in a plane) সমতলে বস্তুকণার গতি সম্পর্কে ধারণা বস্তুকণার গতির পরিমাণ গতি এবং ত্বরণের উপাদান বৃত্তাকার গতি (Circular Motion) গতি সমীকরণ (Equations of Motion) শক্তি এবং কাজ গতি সম্পর্কিত বিশেষ সমস্যা বিস্তার পরিমাপ ও সম্ভাবনা (Measures of Dispersions and Probability) উপাত্তের বিস্তার পরিমাপ শ্রেণিকৃত ও অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাংক একই ঘটনার পুনরাবৃতি ঘটলে সম্ভাবনা পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র অনির্ভরশীল ও নির্ভলশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার গুণনসূত্রের প্রয়োগ বাস্তব জীবনভিত্তিক সহজ সমস্যার সমাধান

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | | NCTB BOOK
14
14

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের বিভিন্ন সূত্র ও তাদের প্রয়োগ নিচে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো। সংযুক্ত কোণের ক্ষেত্রে কোণটি মূল কোণের বিপরীত, সম্পূরক, সহযোজন, বা পূর্ণাঙ্গ হতে পারে। এই সূত্রগুলো বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক মান নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

১. বিপরীত কোণ (\(-\theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর বিপরীত কোণ হলে সেই কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হবে:

  • সাইন: \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)
  • কোসাইন: \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)
  • ট্যানজেন্ট: \(\tan(-\theta) = -\tan \theta\)
  • কোট্যানজেন্ট: \(\cot(-\theta) = -\cot \theta\)
  • সেকেন্ট: \(\sec(-\theta) = \sec \theta\)
  • কোসেকেন্ট: \(\csc(-\theta) = -\csc \theta\)

এই সূত্রগুলো থেকে দেখা যায় যে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান বিপরীত কোণে উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে।

২. সম্পূরক কোণ (\(90^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সম্পূরক কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

  • সাইন: \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta\)
  • কোসাইন: \(\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta\)
  • ট্যানজেন্ট: \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta\)
  • কোট্যানজেন্ট: \(\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta\)
  • সেকেন্ট: \(\sec(90^\circ - \theta) = \csc \theta\)
  • কোসেকেন্ট: \(\csc(90^\circ - \theta) = \sec \theta\)

সম্পূরক কোণে সাইন এবং কোসাইনের অনুপাত একে অপরের সমান হয়, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট, সেকেন্ট এবং কোসেকেন্টও একে অপরের পরিপূরক হয়ে থাকে।

৩. সহযোজন কোণ (\(180^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সহযোজন কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

  • সাইন: \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
  • কোসাইন: \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\)
  • ট্যানজেন্ট: \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
  • কোট্যানজেন্ট: \(\cot(180^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
  • সেকেন্ট: \(\sec(180^\circ - \theta) = -\sec \theta\)
  • কোসেকেন্ট: \(\csc(180^\circ - \theta) = \csc \theta\)

এখানে সাইন এবং কোসেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং সেকেন্টের মান বিপরীত চিহ্ন পায়।

৪. পূর্ণাঙ্গ কোণ (\(360^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর পূর্ণাঙ্গ কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

  • সাইন: \(\sin(360^\circ - \theta) = -\sin \theta\)
  • কোসাইন: \(\cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta\)
  • ট্যানজেন্ট: \(\tan(360^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
  • কোট্যানজেন্ট: \(\cot(360^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
  • সেকেন্ট: \(\sec(360^\circ - \theta) = \sec \theta\)
  • কোসেকেন্ট: \(\csc(360^\circ - \theta) = -\csc \theta\)

পূর্ণাঙ্গ কোণের ক্ষেত্রে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্ট অপরিবর্তিত থাকে।

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক মান দ্রুত নির্ণয় করা যায়, যা গণিতে সমীকরণ সমাধান এবং বিভিন্ন প্রয়োগে বিশেষভাবে সহায়ক।

Read more

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

or

Don't have an account? Register

Promotion