বৃত্ত হলো একটি জ্যামিতিক আকার, যা একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রবিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির দ্বারা গঠিত। একটি বৃত্তে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান থাকে:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং পরিধি গণনা করার জন্য কিছু গাণিতিক সূত্র রয়েছে:
এখানে \( \pi \) হলো একটি ধ্রুবক, যার মান আনুমানিক \( 3.1416 \)।
x2 + y2 - 4x - 6y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
x2 + y2 - 12x + 8y + c = 0 বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে।
x2 + y2-2x - 2y + 1 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ।
x2 + y2 - 6x + 4y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
x2 + y2 + 6x-2y-10 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ: 2x2 + 2y2 = 20x - 32.
বৃত্তের সমীকরণ: x2 + y2 + 4x - 6y + 1 = 0
x - y - 8 = 0 সরলরেখা x2 + y2-6x + 4y + 4 = 0 বৃত্তকে ছেদ করে।
একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ x = 2 + 5 cost এবং y=-1+5 sin t
x2 + y2 - 4x - 6y + c = 0 বৃত্তটি মূলন্দুিগামী।
x-y-5 = 0 রেখাটি (3,2) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি স্পর্শক।
নির্দিষ্ট কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এখানে:
এই সমীকরণ থেকে, নির্দিষ্ট কোনো কেন্দ্রে এবং নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধে বৃত্তের অবস্থান এবং আকার নির্ধারণ করা যায়।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এখানে:
এই সমীকরণের মাধ্যমে, বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান জানা থাকলে সহজেই বৃত্তের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করা যায়।
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:
\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]
এখানে:
এই সমীকরণটি বৃত্তের একটি সাধারণ রূপ, যা থেকে আমরা বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান নির্ধারণ করতে পারি।
বৃত্তের স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করার জন্য বৃত্তের সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করা হয়। যদি আমাদের বৃত্তের সমীকরণ হয়:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এখানে \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(r\)হলো ব্যাসাধ
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে যদি একটি স্পর্শক আকা হয়, এবং যদি \((x_1, y_1)\) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়, তবে সেই স্পর্শকের সমীকরণ হবে:
\[
(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2
\]
অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:
\[
x x_1 + y y_1 - h(x + x_1) - k(y + y_1) = 0
\]
এটি হলো সেই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ।
অভিলম্ব হলো সেই সরলরেখা, যা কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্বভাবে অঙ্কিত হয়। যদি \((x_1, y_1)\) বৃত্তের ওপর অবস্থিত কোনো বিন্দু হয়, তবে অভিলম্বের সমীকরণ হবে:
\[
\frac{x - h}{x_1 - h} = \frac{y - k}{y_1 - k}
\]
অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:
\[
(x - h)(y_1 - k) = (y - k)(x_1 - h)
\]
এটি হলো সেই বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ।
স্পর্শক এবং অভিলম্বের এই সমীকরণগুলো বৃত্তের উপর অবস্থিত নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে তাদের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করতে সহায়ক।
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত একটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র রয়েছে। যদি \((x_1, y_1)\) বিন্দুটি বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু হয় এবং বৃত্তের সমীকরণটি হয়:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এখানে \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(r\) হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা, তাহলে \((x_1, y_1)\) বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(PT\) হবে:
\[
PT = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2}
\]
এখানে:
এই সূত্র থেকে আমরা নির্দিষ্ট কোনো বাইরের বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য বের করতে পারি।
যদি দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা (common chord) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হয়, তাহলে প্রথমে দুটি বৃত্তের সমীকরণ লিখতে হবে এবং তারপর তাদের মধ্যে পার্থক্য করে সমীকরণ বের করতে হবে।
ধরা যাক, দুটি বৃত্তের সমীকরণ নিম্নরূপ:
প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2
\]
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2
\]
এখানে:
সাধারণ জ্যা হলো সেই সরলরেখা, যা দুটি বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়। এই সাধারণ জ্যার সমীকরণ পেতে, আমরা দুটি বৃত্তের সমীকরণ থেকে একটিকে অন্যটির সাথে বিয়োগ করবো।
বিয়োগ করলে পাই:
\[
[(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2] - [(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2] = r_1^2 - r_2^2
\]
সরলীকরণ করলে:
\[
2x(h_2 - h_1) + 2y(k_2 - k_1) = r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2
\]
এটিকে আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লিখলে:
\[
x(h_2 - h_1) + y(k_2 - k_1) = \frac{r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2}{2}
\]
এই সমীকরণটি হলো দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা বা common chord এর সমীকরণ।
Read more
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
