গাণিতিক প্রত্যাশা সংক্রান্ত সমস্যাগুলো

গাণিতিক প্রত্যাশা (Mathematical Expectation) দৈব চলকের সম্ভাব্য মানগুলোর সম্ভাবনার ওজনযুক্ত গড় নির্ধারণ করে। এটি দৈব চলকের দীর্ঘমেয়াদি গড় মান হিসেবেও পরিচিত। নিচে গাণিতিক প্রত্যাশা সম্পর্কিত কয়েকটি সমস্যা এবং তাদের সমাধান দেওয়া হলো।

সমস্যা ১: ছক্কার গাণিতিক প্রত্যাশা

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে। \(X\) দৈব চলকটি ছক্কার মুখে আসা সংখ্যাকে নির্দেশ করে। \(P(X=x) = \frac{1}{6}\) প্রতিটি মানের জন্য। \(E(X)\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

সম্ভাব্য মানগুলো: \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\)।
প্রত্যেকটির সম্ভাবনা: \(P(X=x) = \frac{1}{6}\)।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i)
\]

এখন,
\[
E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{1}{6}(21) = 3.5
\]

সুতরাং, \(E(X) = 3.5\)।

সমস্যা ২: পয়েন্টসের গাণিতিক প্রত্যাশা

একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়েছে। যদি মাথা (Head) আসে, \(X = 10\) এবং যদি লেজ (Tail) আসে, \(X = 5\)। মুদ্রা ন্যায়সঙ্গত হওয়ায় \(P(Head) = P(Tail) = 0.5\)। \(E(X)\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

সম্ভাব্য মানগুলো: \(X = {10, 5}\)।
সম্ভাবনা: \(P(X = 10) = 0.5\), \(P(X = 5) = 0.5\)।

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)
\]

এখন,
\[
E(X) = (10 \cdot 0.5) + (5 \cdot 0.5) = 5 + 2.5 = 7.5
\]

সুতরাং, \(E(X) = 7.5\)।

সমস্যা ৩: ধ্রুবক দ্বারা গুণিত গাণিতিক প্রত্যাশা

ধরা যাক \(X\) একটি দৈব চলক, যার \(E(X) = 4\)। যদি \(Y = 3X + 2\), তবে \(E(Y)\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

গাণিতিক প্রত্যাশার রৈখিকতার সূত্র ব্যবহার করি:
\[
E(aX + b) = aE(X) + b
\]

এখানে, \(a = 3\) এবং \(b = 2\)।
তাহলে,
\[
E(Y) = 3E(X) + 2 = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
\]

সুতরাং, \(E(Y) = 14\)।

সমস্যা ৪: দুটি স্বাধীন দৈব চলকের প্রত্যাশা

ধরা যাক \(X\) এবং \(Y\) দুটি স্বাধীন দৈব চলক, যেখানে \(E(X) = 5\) এবং \(E(Y) = 3\)। \(E(X + Y)\) এবং \(E(XY)\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

1. \(E(X + Y)\):
   গাণিতিক প্রত্যাশার যোগসূত্র অনুসারে:
   \[
   E(X + Y) = E(X) + E(Y)
   \]
   এখানে,
   \[
   E(X + Y) = 5 + 3 = 8
   \]
2. \(E(XY)\):
   যেহেতু \(X\) এবং \(Y\) স্বাধীন, তাই:
   \[
   E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
   \]
   এখানে,
   \[
   E(XY) = 5 \cdot 3 = 15
   \]

সুতরাং, \(E(X + Y) = 8\) এবং \(E(XY) = 15\)।

সমস্যা ৫: বিন্যাস প্রত্যাশা (Expected Value of a Function)

ধরা যাক \(X\) একটি দৈব চলক, যার মান \(1, 2, 3\), এবং এর যথাক্রমে সম্ভাবনা \(P(X = 1) = 0.2\), \(P(X = 2) = 0.5\), এবং \(P(X = 3) = 0.3\)। যদি \(g(X) = 2X + 1\), তবে \(E(g(X))\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(g(X)) = \sum_{i} g(x_i) \cdot P(X = x_i)
\]

এখন \(g(X)\)-এর মান নির্ণয় করি:

• \(g(1) = 2(1) + 1 = 3\)
• \(g(2) = 2(2) + 1 = 5\)
• \(g(3) = 2(3) + 1 = 7\)

এখন,
\[
E(g(X)) = (3 \cdot 0.2) + (5 \cdot 0.5) + (7 \cdot 0.3)
\]

\[
E(g(X)) = 0.6 + 2.5 + 2.1 = 5.2
\]

সুতরাং, \(E(g(X)) = 5.2\)।

সমস্যা ৬: ধারাবাহিক দৈব চলকের প্রত্যাশা

ধরা যাক \(X\) একটি ধারাবাহিক দৈব চলক, যার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF):
\[
f(x) = 2x, \quad 0 \leq x \leq 1
\]
\(E(X)\) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx
\]

এখানে \(f(x) = 2x\), এবং \(0 \leq x \leq 1\), তাই:
\[
E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x , dx = \int_{0}^{1} 2x^2 , dx
\]

এখন সমাধান করি:
\[
E(X) = 2 \int_{0}^{1} x^2 , dx = 2 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}
\]

\[
E(X) = 2 \cdot \left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

সুতরাং, \(E(X) = \frac{2}{3}\)।

সারসংক্ষেপ

• গাণিতিক প্রত্যাশা দৈব চলকের ওজনকৃত গড় এবং দৈব ঘটনার দীর্ঘমেয়াদি গড় মূল্যায়ন করতে ব্যবহৃত হয়।
• প্রত্যাশার রৈখিকতার সূত্র সমস্যাগুলোকে সহজে সমাধান করতে সাহায্য করে।
• ধারাবাহিক ও বিচ্ছিন্ন উভয় ধরনের দৈব চলকের জন্য প্রত্যাশা নির্ণয়ের প্রক্রিয়া বিভিন্ন হলেও ধারণাটি একই।