দৈব চলক (Random Variable)

দৈব চলক হলো এমন একটি চলক যা দৈব ঘটনা বা পরীক্ষার ফলাফলকে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করে। এটি মূলত একটি ফাংশন, যা প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সঙ্গে সম্পর্কিত করে।

বিচ্ছিন্ন দৈব চলক (Discrete Random Variable)

সংজ্ঞা:
যে দৈব চলক শুধুমাত্র গণনাযোগ্য কিছু নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করতে পারে, তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলা হয়।

উদাহরণ:

1. একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ১, ২, ৩, ৪, ৫, বা ৬ মান পাওয়া যেতে পারে।
2. একটি পরীক্ষায় শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর (যেমন: ০ থেকে ১০০)।

বৈশিষ্ট্য:

• মানগুলো আলাদা এবং গাণিতিকভাবে গণনাযোগ্য।
• এর সম্ভাবনা ভর ফাংশন (Probability Mass Function, PMF) ব্যবহার করে এর সম্ভাবনা নির্ণয় করা হয়।

সম্ভাবনা নিবেশন:

PMF নির্ধারণ করে \( P(X = x) \)।

উদাহরণ:
একটি ছক্কা নিক্ষেপে \(P(X = 3) = \frac{1}{6}\)।

অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক (Continuous Random Variable)

সংজ্ঞা:
যে দৈব চলক একটি নির্দিষ্ট পরিসরের যেকোনো বাস্তব সংখ্যা গ্রহণ করতে পারে, তাকে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলা হয়।

উদাহরণ:

1. একটি ব্যক্তির উচ্চতা (যেমন: ৫.৫ ফুট থেকে ৬.২ ফুট)।
2. পানির প্রবাহ (যেমন: প্রতি সেকেন্ডে ২.৩ লিটার থেকে ৩.৭ লিটার)।

বৈশিষ্ট্য:

• মানগুলোর মধ্যে কোনো নির্দিষ্ট সীমা নেই।
• এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (Probability Density Function, PDF) ব্যবহার করে এর সম্ভাবনা নির্ণয় করা হয়।
• নির্দিষ্ট একটি মানের সম্ভাবনা শূন্য (\(P(X = x) = 0\))।

সম্ভাবনা নিবেশন:

PDF ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয় \(P(a \leq X \leq b)\)।
উদাহরণ:
\( P(2 \leq X \leq 5) = \int_{2}^{5} f(x) dx \)।

সম্ভাবনা নিবেশন (Probability Notation)

১. সম্ভাবনা গণনা:

• বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য:
  \( P(X = x) \): দৈব চলক \(X\)-এর নির্দিষ্ট মান \(x\) হওয়ার সম্ভাবনা।
• অবিচ্ছিন্ন চলকের জন্য:
  \( P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx \): \(X\) যদি \(a\) এবং \(b\)-এর মধ্যে থাকে, তার সম্ভাবনা।

২. সঞ্চিত সম্ভাবনা (Cumulative Probability):

• বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য:
  \( F(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} P(X = t) \)
• অবিচ্ছিন্ন চলকের জন্য:
  \( F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \)

৩. গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য:

• \( 0 \leq P(X = x) \leq 1 \)
• \( \sum_{x} P(X = x) = 1 \) (বিচ্ছিন্ন চলকের জন্য)
• \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \) (অবিচ্ছিন্ন চলকের জন্য)

সারসংক্ষেপ

• দৈব চলক: একটি ফাংশন যা পরীক্ষার ফলাফলকে সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করে।
• বিচ্ছিন্ন দৈব চলক: নির্দিষ্ট কিছু মান ধারণ করতে পারে।
• অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক: একটি নির্দিষ্ট পরিসরের যেকোনো মান ধারণ করতে পারে।
• সম্ভাবনা নিবেশন: PMF এবং PDF-এর মাধ্যমে দৈব চলকের সম্ভাবনা নির্ণয় করা হয়।