বৃত্ত (অধ্যায় ৫)

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

745

বৃত্ত হলো একটি জ্যামিতিক আকার, যা একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রবিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির দ্বারা গঠিত। একটি বৃত্তে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান থাকে:

কেন্দ্র: বৃত্তের মধ্যবর্তী বিন্দু, যেখান থেকে বৃত্তের সব বিন্দু সমান দূরত্বে থাকে।
ত্রিজ্যা (Radius): কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত সরল রেখা।
ব্যাসার্ধ (Diameter): বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া সরল রেখা, যা ত্রিজ্যার দ্বিগুণ।
পরিধি (Circumference): বৃত্তের বাইরের অংশের দৈর্ঘ্য।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং পরিধি গণনা করার জন্য কিছু গাণিতিক সূত্র রয়েছে:

পরিধি: $C = 2 \pi r$ , যেখানে $r$ হলো ত্রিজ্যা।
ক্ষেত্রফল: $A = \pi r^2$ , যেখানে $r$ হলো ত্রিজ্যা।

এখানে $\pi$ হলো একটি ধ্রুবক, যার মান আনুমানিক $3.1416$ ।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও:

x-y-5 = 0 রেখাটি (3,2) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি স্পর্শক।

#.
বৃত্তটি কর্তৃক x অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ কত?

$\sqrt{2}$

$2 \sqrt{2}$

$\sqrt{4}$

উচ্চতর গণিত বৃত্ত

নিচের উদ্দীপকের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:

x² + y² - 4x - 6y + c = 0 বৃত্তটি মূলন্দুিগামী।

#.
c এর মান কত?

উচ্চতর গণিত বৃত্ত

#.
বৃত্তটি দ্বারা y অক্ষ থেকে ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য কত?

উচ্চতর গণিত বৃত্ত

নিচের উদ্দীপকের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:

একটি বৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ x = 2 + 5 cost এবং y=-1+5 sin t

#.
বৃত্তটির সমীকরণ নিচের কোনটি?

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 20 = 0$

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 20 = 0$

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 20 = 0$

উচ্চতর গণিত বৃত্ত

#.
বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

(2,5)

(-1,5)

(2,-1)

(-2, 1)

উচ্চতর গণিত বৃত্ত

View more questions

নির্দিষ্ট কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ

315

নির্দিষ্ট কেন্দ্র $(h, k)$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হলো:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

এখানে:

$(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।
$r$ হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সমীকরণ থেকে, নির্দিষ্ট কোনো কেন্দ্রে এবং নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধে বৃত্তের অবস্থান এবং আকার নির্ধারণ করা যায়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ

2.1k

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

এখানে:

$(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।
$r$ হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সমীকরণের মাধ্যমে, বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান জানা থাকলে সহজেই বৃত্তের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করা যায়।

বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

এখানে:

$g$ , $f$ , এবং $c$ হলো ধ্রুবক, যেগুলোর মান অনুযায়ী বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যা নির্ধারিত হয়।
কেন্দ্র $(-g, -f)$ এবং ত্রিজ্যা $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ ।

এই সমীকরণটি বৃত্তের একটি সাধারণ রূপ, যা থেকে আমরা বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান নির্ধারণ করতে পারি।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

#. সমীকরণ $C o s θ = - 1$ এর সাধারণ সমাধন কত ? $(n \in Z)$

$n π$

$\frac{nπ}{2}$

$(2 n + 1) π$

$2 n π$

উচ্চতর গণিত বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ

#. $c o t θ c o t 3 θ = 1$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান -

$(2 n + 1) \frac{π}{4}$

$(2 n + 1) \frac{π}{8}$

$n \frac{π}{4}$

$(2 n - 1) \frac{π}{2}$

উচ্চতর গণিত বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ

#. $a^{2} = 5 a - 1; b^{2} = 5 b - 1; (a = n o t b)$ ' হলে সাধারণ সমীকরণটি হবে -

$x^{2} - 5 x + 1 = 0$

$x^{2} - b x + a = 0$

$x^{2} - a x + b = 0$

কোনোটিই নয়

উচ্চতর গণিত বৃত্তের সাধারণ ও আদর্শ সমীকরণ

View more questions

বৃত্তের স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ

716

বৃত্তের স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করার জন্য বৃত্তের সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করা হয়। যদি আমাদের বৃত্তের সমীকরণ হয়:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

এখানে $(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো ব্যাসাধ

ধ১. স্পর্শকের সমীকরণ

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু $(x_1, y_1)$ থেকে যদি একটি স্পর্শক আকা হয়, এবং যদি $(x_1, y_1)$ বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়, তবে সেই স্পর্শকের সমীকরণ হবে:

$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

$x x_1 + y y_1 - h(x + x_1) - k(y + y_1) = 0$

এটি হলো সেই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ।

২. অভিলম্বের সমীকরণ

অভিলম্ব হলো সেই সরলরেখা, যা কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্বভাবে অঙ্কিত হয়। যদি $(x_1, y_1)$ বৃত্তের ওপর অবস্থিত কোনো বিন্দু হয়, তবে অভিলম্বের সমীকরণ হবে:

$\frac{x - h}{x_1 - h} = \frac{y - k}{y_1 - k}$

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

$(x - h)(y_1 - k) = (y - k)(x_1 - h)$

এটি হলো সেই বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ।

স্পর্শক এবং অভিলম্বের এই সমীকরণগুলো বৃত্তের উপর অবস্থিত নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে তাদের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করতে সহায়ক।

Content added || updated By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

818

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত একটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র রয়েছে। যদি $(x_1, y_1)$ বিন্দুটি বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু হয় এবং বৃত্তের সমীকরণটি হয়:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

এখানে $(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা, তাহলে $(x_1, y_1)$ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $PT$ হবে:

$PT = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2}$

এখানে:

$(x_1, y_1)$ হলো বৃত্তের বাইরের বিন্দু।
$(h, k)$ হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
$r$ হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সূত্র থেকে আমরা নির্দিষ্ট কোনো বাইরের বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য বের করতে পারি।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

#.
a এর মান কত হলে , y = ax(1-x) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি x অক্ষের সাথে $60 °$ কোণ উৎপন্ন করে?

$\sqrt{5}$

$\sqrt{3}$

উচ্চতর গণিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

#.
$x^{2} + 2 y^{2} = 3$ বক্ররেখার (1,-1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

2x+y-1=0

x-y=0

x-2y-3=0

x+y=3

উচ্চতর গণিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

#.
বক্ররেখা y= $e^{x}$ এর (0,1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণটি কোনটি?

y=1+

$e^{x}$

y=1+x

y=2x+1

y=1-x

উচ্চতর গণিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

#.
$y = x^{3} - 2 x^{2} + 4$ বক্ররেখার ( 2,4) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এর সমীকরণ নিচের কোনটি?

4X-Y-4=0

x+4y-18=0

4x-y+4=0

x+4y+18=0

উচ্চতর গণিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

#.
c-এর মান কত হলে মূলবিন্দুতে y=cx(1+x) বক্ররেখার স্পর্শক x-অক্ষের সাথে $30^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করবে?

$\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

উচ্চতর গণিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

View more questions

দুইটি বৃত্তের সধারণ জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয়

866

যদি দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা (common chord) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হয়, তাহলে প্রথমে দুটি বৃত্তের সমীকরণ লিখতে হবে এবং তারপর তাদের মধ্যে পার্থক্য করে সমীকরণ বের করতে হবে।

ধরা যাক, দুটি বৃত্তের সমীকরণ নিম্নরূপ:

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:

$(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2$

দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:

$(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2$

এখানে:

$(h_1, k_1)$ এবং $(h_2, k_2)$ যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র।
$r_1$ এবং $r_2$ হলো যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের ত্রিজ্যা।

সাধারণ জ্যা নির্ণয়

সাধারণ জ্যা হলো সেই সরলরেখা, যা দুটি বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়। এই সাধারণ জ্যার সমীকরণ পেতে, আমরা দুটি বৃত্তের সমীকরণ থেকে একটিকে অন্যটির সাথে বিয়োগ করবো।

বিয়োগ করলে পাই:

$[(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2] - [(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2] = r_1^2 - r_2^2$

সরলীকরণ করলে:

$2x(h_2 - h_1) + 2y(k_2 - k_1) = r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2$

এটিকে আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লিখলে:

$x(h_2 - h_1) + y(k_2 - k_1) = \frac{r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2}{2}$

এই সমীকরণটি হলো দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা বা common chord এর সমীকরণ।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq