P সমস্যা
P সমস্যা হলো এমন সমস্ত সিদ্ধান্তমূলক সমস্যা (decision problems) যা একটি ডিটারমিনিস্টিক টিউরিং মেশিনে (DTM) পলিনোমিয়াল সময়ে সমাধান করা সম্ভব। অর্থাৎ, এই ধরনের সমস্যাগুলি এমন অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা যায় যেগুলি সীমিত সময়ের মধ্যে এবং দক্ষতার সাথে ফলাফল প্রদান করতে পারে।
উদাহরণ:
- সর্চিং ও সর্টিং অ্যালগরিদম, যেমন বাইনারি সার্চ, মার্জ সর্ট ইত্যাদি।
- গ্রাফের জন্য শর্ত মেনে চলা সমস্যা, যেমন গ্রাফে দুটি নোড সংযুক্ত আছে কিনা তা চেক করা।
NP সমস্যা
NP সমস্যা বা Non-deterministic Polynomial Time Problem হলো এমন সমস্যাগুলি যা একটি নন-ডিটারমিনিস্টিক টিউরিং মেশিনে (NDTM) পলিনোমিয়াল সময়ে যাচাই করা যায়। অর্থাৎ, যদি সমাধান দেওয়া থাকে, তবে এটি যাচাই করতে পলিনোমিয়াল সময় লাগে। তবে, সমাধান বের করতে সঠিক অ্যালগরিদম খুঁজে পেতে অনেক সময় লাগতে পারে।
উদাহরণ:
- সাবসেট সাম সমস্যা: একটি সেটের উপসেটগুলোর মধ্যে একটি উপসেট খুঁজে বের করতে হবে, যার মোট যোগফল একটি নির্দিষ্ট মানের সমান।
- ট্রাভেলিং সেলসম্যান সমস্যা (TSP): একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক শহর ঘুরে আসার জন্য সবচেয়ে কম দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
NP-Complete সমস্যা
NP-Complete সমস্যা হলো এমন NP সমস্যা যেগুলি সমাধান করা খুব কঠিন এবং এই ধরনের কোনো একটি সমস্যার সমাধান বের করা সম্ভব হলে সমস্ত NP সমস্যার সমাধান বের করা সম্ভব হবে। NP-Complete সমস্যাগুলি একটি সমাধান পাওয়া অত্যন্ত কষ্টসাধ্য, তবে সমাধানটি পেলে সেটি দ্রুত যাচাই করা যায়।
উদাহরণ:
- ক্লিক সমস্যা (Clique Problem): একটি গ্রাফে নির্দিষ্ট সংখ্যক নোডের একটি ক্লিক রয়েছে কিনা তা বের করা।
- হ্যামিল্টোনিয়ান পাথ সমস্যা: একটি গ্রাফের সমস্ত নোড একবার করে ভিজিট করে এমন একটি পথ খুঁজে বের করা।
- ট্রাভেলিং সেলসম্যান সমস্যা।
NP-Complete সমস্যা সমাধানের জন্য কোনো পলিনোমিয়াল-সময় সমাধান অ্যালগরিদম এখন পর্যন্ত পাওয়া যায়নি। যদি এমন একটি অ্যালগরিদম খুঁজে পাওয়া যায়, তাহলে সব NP সমস্যার সমাধান পলিনোমিয়াল সময়ে পাওয়া যাবে।
NP-Hard সমস্যা
NP-Hard সমস্যা হলো এমন সমস্যা যা কমপক্ষে NP সমস্যার মতো কঠিন, তবে এগুলিকে NP সমস্যার অন্তর্ভুক্ত করা যায় না। এই ধরনের সমস্যা একটি ডিটারমিনিস্টিক মেশিনে পলিনোমিয়াল সময়ে যাচাই করা যায় না। NP-Hard সমস্যাগুলি শুধুমাত্র অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসেবে আসে এবং সেগুলির সঠিক সমাধান খুঁজে বের করাও অত্যন্ত কষ্টসাধ্য।
উদাহরণ:
- কেপ্যাকিটি প্ল্যানিং সমস্যা।
- কনভেক্স হাল সমস্যা।
NP-Hard সমস্যা সমাধানে প্রায়শই অ্যাপ্রক্সিমেশন অ্যালগরিদম ব্যবহৃত হয়, কারণ এদের নির্ভুল সমাধান খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন।
P, NP, NP-Complete এবং NP-Hard সমস্যার তুলনা
| সমস্যার ধরন | সমাধানের সময় | যাচাইয়ের সময় | উদাহরণ |
|---|---|---|---|
| P | পলিনোমিয়াল সময় | পলিনোমিয়াল সময় | বাইনারি সার্চ, মার্জ সর্ট |
| NP | সম্ভবত পলিনোমিয়াল সময় নয় | পলিনোমিয়াল সময় | সাবসেট সাম সমস্যা |
| NP-Complete | কঠিন এবং পলিনোমিয়াল নয় | পলিনোমিয়াল সময় | ক্লিক সমস্যা, TSP |
| NP-Hard | NP সমস্যার চেয়ে কঠিন | যাচাই পলিনোমিয়াল সময়ে নয় | কেপ্যাকিটি প্ল্যানিং সমস্যা |
P এবং NP এর মধ্যে সম্পর্ক গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি প্রাচীন প্রশ্ন এবং এখনও এটি সমাধান হয়নি যে P সমান NP কিনা। যদি P সমান NP হয়, তাহলে সব NP সমস্যা পলিনোমিয়াল সময়ে সমাধান করা যাবে।
