প্রশ্ন: $\overrightarrow{A}=5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=15\hat{i} + a\hat{j} - 9\hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরষ্পর সমান্তরাল হলে a-এর মান কত ?

সঠিক উত্তর: 6

ব্যাখ্যা:

দুটি ভেক্টর পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরের কোনো একটি স্কেলার দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, একটি ভেক্টর অন্য ভেক্টরের ধ্রুবক গুণফল হবে।

এখানে,

• A = 5i^ + 2j^ - 3k^
• B = 15i^ + aj^ - 9k^

দেখা যাচ্ছে, B ভেক্টরের i এবং k সহগ যথাক্রমে A ভেক্টরের i এবং k সহগের 3 গুণ। তাহলে j সহগও একই অনুপাতে থাকবে যাতে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়।

সুতরাং, 2 * 3 = a বা, a = 6

অর্থাৎ, a এর মান 6 হলে A এবং B ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।

আরেকটি উপায়ে:

দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরের কোনো একটি স্কেলার দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যাবে। ধরি, B ভেক্টরকে λ দিয়ে গুণ করলে A ভেক্টর পাওয়া যায়।

তাহলে, λ(5i^ + 2j^ - 3k^) = 15i^ + aj^ - 9k^

এখান থেকে আমরা পাই, 5λ = 15 2λ = a -3λ = -9

প্রথম সমীকরণ থেকে λ = 3 পাই। এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই a = 6.