প্রশ্ন:

$\overrightarrow{P}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{Q}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\sqrt{3}\hat{k}$ ভেক্টর দুইটি একটি বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি ভেক্টরের দিক ($\underset{p}{\to }$ -এর সাপেক্ষে) কত?

লব্ধি ভেক্টরের দিক →P-এর সাপেক্ষে 59°।

ব্যাখ্যা:

• দুটি ভেক্টর →P এবং →Q পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল হলে, তাদের লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্ণয় করতে ক্রস গুণ ব্যবহার করা যায়।
• →P × →Q ভেক্টরটি লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্দেশ করে।

উপাত্ত:

• →P = î + 2ĵ - 2k̂
• →Q = 3î + 2ĵ + 2√3k̂

সমাধান:

• →P × →Q = (2√3 - 4)î + (6 - 3√3)ĵ + (6 + 2)k̂
• →P × →Q = (2√3 - 4)î + (6 - 3√3)ĵ + 8k̂

লব্ধি ভেক্টরের দিক নির্ণয়:

• →P × →Q ভেক্টরের দিক নির্ণয় করতে, আমরা এর দিক নির্দেশক কোসাইন (direction cosine) ব্যবহার করতে পারি।
• →P × →Q ভেক্টরের দিক নির্দেশক কোসাইন নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত হয়:

cos θ = (→P × →Q) ⋅ →P / |→P × →Q| * |→P|

যেখানে,

• θ = লব্ধি ভেক্টরের দিক →P-এর সাপেক্ষে কোণ
• ⋅ = ডট গুণ

গণনা:

• cos θ = (2√3 - 4) * 1 + (6 - 3√3) * 2 + 8 * (-2) / |(2√3 - 4)î + (6 - 3√3)ĵ + 8k̂| * |î + 2ĵ - 2k̂|
• cos θ = -14 / √(44 + 108 + 256) * √(1 + 4 + 4)
• cos θ = -14 / √414 * √9
• cos θ = -14 / 21
• θ = cos⁻¹(-14/21)
• θ = 59°