প্রশ্ন: (x,y) বিন্দুটি (a,0) বিন্দু x+a=0 রেখা হতে সমদূরবর্তী, বিন্দুটির সঞ্চারপথ-

দেওয়া আছে:

• বিন্দুটির y-সমন্বয় সর্বদা 4। অর্থাৎ, বিন্দুটি (x, 4) আকারে হবে।
• এই বিন্দুটি (a, 0) বিন্দু এবং x+a = 0 রেখা থেকে সমদূরত্বে থাকবে।

আমাদের করণীয়:

• এই শর্ত পূরণকারী বিন্দুগুলির সঞ্চারপথ নির্ণয় করা।

সমাধান:

দূরত্বের সূত্র: দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

প্রথম শর্ত: (x, 4) এবং (a, 0) বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

• d₁ = √[(x - a)² + (4 - 0)²] = √[(x - a)² + 16]

দ্বিতীয় শর্ত: (x, 4) বিন্দু এবং x+a = 0 রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব

• x+a = 0 থেকে x = -a
• (x, 4) বিন্দু থেকে x = -a রেখার লম্ব দূরত্বই হবে দ্বিতীয় দূরত্ব।
• d₂ = |x - (-a)| = |x + a|

শর্ত অনুযায়ী: d₁ = d₂

• √[(x - a)² + 16] = |x + a|
• দুইপক্ষকে বর্গ করে পাই:
  • (x - a)² + 16 = (x + a)²
  • 16 = 4ax
  • y² = 4ax (যেহেতু y = 4 দেওয়া আছে, তাই y² = 16)

উত্তর:

• বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ হল y² = 4ax।

বিশ্লেষণ:

• y² = 4ax এই সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণকে নির্দেশ করে।
• অর্থাৎ, (x, 4) বিন্দুটি যখন উপরের শর্তগুলি মেনে চলে তখন এটি একটি পরাবৃত্তের উপর অবস্থান করে।

সুতরাং, উত্তর:

• বিন্দুটির সঞ্চারপথ একটি পরাবৃত্ত।