প্রমাণ কর যে , $n^2$ একটি বিজোড় সংখ্যা।

যেহেতু ১ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

আর পূর্ণবর্গ নয় এরূপ সকল সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।

সেহেতু  $\sqrt{5}$ অমূলদ সংখ্যা

আবার, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই মূলদ

∴ 4 মূলদ সংখ্যা।

এখানে , $\sqrt{5} = 2.236067.......$

মনে করি , $a= 3.020022000222$ এবং $b=3.505500555$

স্পষ্টত a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই $\sqrt{5}$ অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।

অর্থাৎ $\sqrt{5}<3.020022000222.........<4$

এবং $\sqrt{5}<3.505500555.................<4$

আবার, ৪ ও ৮ কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

ধরি , $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা $\mathrm{p}, \mathrm{q} > 1$

থাকবে যে , $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$

            বা , $5= \frac{p^2}{q^2}$ [ বর্গ করে। ]

অর্থাৎ , $5q=\frac{p^2}{q }$[ উভয়পক্ষকে ৭ দ্বারা গুণ করে ]

স্পষ্টত, $5q$ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু $\sqrt{5}$ পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p:ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  $q>1$

∴ 5q এবং $\frac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ $\frac{p^2}{q}$

∴ $\sqrt{5}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ $\sqrt{5}\ne \frac{p}{q}$

তাই,   সংখ্যাটি মূলদ নয়।

সুতরাং $\sqrt{5}$একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

মূলদ সংখ্যা : $\frac{p}{q}$আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।

যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 যেমন $\frac{3^{}}{1}$= 3 , $\frac{11}{2}$ = 5.5

ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসেবেও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং $q\ne 0$ সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।  পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন $\sqrt{২} = 1.414213$ ……….  $\sqrt{3}=1.732..........$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 1.118 ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। কোনো অমূলদ  সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

এখানে , $\sqrt{7}=2.645751$ ও $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$

মনে করি , $\sqrt{7}$ এবং $\sqrt{9}$ যেকোনো দুইটি মূলদ সংখ্যা a = 2.7 এবং b = 2.8 , a ও b উভয়ই বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই $\sqrt{7}$ এবং $\sqrt{9}$ মধ্যে অবস্থিত। অর্থাৎ $\sqrt{7}< 2.7 < 2.8 <\sqrt{9}$

আবার $a= 2.7 =\frac{27}{10}$ এবং $b = 2.8 = \frac{28}{10}$অর্থাৎ a ও b কে ভগ্নাংশ  আকারে প্রকাশ করা যায়।

a ও b দুইটি নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা। আবার; মনে করি $\sqrt{7}$ এবং $\sqrt{9}$ এর মধ্যে যেকোনো দুইটি অমূলদ সংখ্যা c ও d যেখানে, c = 2.707007000………… এবং d = 2.808008000……………

স্পষ্টত: c d উভয়ই অমূলদ সংখ্যা এবং উভয়ই $\sqrt{7}$ এবং $\sqrt{9}$ এর মধ্যে অবস্থিত।

অর্থাৎ $\sqrt{7}<2.707007000...........<2.808008000...........<\sqrt{9}$  

∴ c ও d দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

[বি: দ্র: এভাবে অসংখ্য মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।]