দুইটি ভগ্নাংশের বিয়োগ করতে হলে, ভগ্নাংশ দুইটিকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লব দুইটিকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশ দুইটির লবের বিয়োগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশ দুইটির হরের ল.সা.গু.।

যেমন, $\frac{a}{xy}-\frac{b}{yz}$

           $=\frac{az}{xyz}-\frac{bx}{xyz}$

           $=\frac{az-bx}{xyz}$

উদাহরণ ৬। বিয়োগফল নির্ণয় কর :

(ক) $\frac{x}{4a^{2}b{c}^2}-\frac{y}{9a{b}^2{c}^3}$

(খ) $\frac{x}{{\left(x-y\right)}^2}-\frac{x+y}{x^2-y^2}$

(গ) $\frac{a^2+9y^2}{a^2-9y^2}-\frac{a+3y}{a-3y}$

সমাধান : (ক) $\frac{x}{4a^{2}b{c}^2}-\frac{y}{9a{b}^2{c}^3}$

এখানে, হর 4a²bc² ও 9ab²c³ এর ল.সা.গু. 360a²b²c³ 

$\therefore \frac{x}{4a^{2}b{c}^2}-\frac{y}{9a{b}^2{c}^3}$

     $=\frac{9xbc-4ya}{36a^2{b}^2{c}^3}$ 

(খ) $\frac{x}{{\left(x-y\right)}^2}-\frac{x+y}{x^2-y^2}$

এখানে হর ${\left(x-y\right)}^2$ ও $x^2-y^2$ এর ল.সা.গু. ${\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)$

$\therefore$ $\frac{x}{{\left(x-y\right)}^2}-\frac{x+y}{x^2-y^2}$

   $=\frac{x\left(x+y\right)-(x+y)\left(x-y\right)}{{\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)}$

   $=\frac{x^2+xy-x^2+y^2}{{(x-y)}^2\left(x+y\right)}$

   $=\frac{xy+y^2}{{\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)}$

   $=\frac{y\left(x+y\right)}{{\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)}$

   $=\frac{y}{{\left(x-y\right)}^2}$

(গ) $\frac{a^2+9y^2}{a^2-9y^2}-\frac{a-3y}{a+3y}$

এখানে হর $a^2-9y^2$ ও $a+3y$ ল.সা.গু. $a^2-9y^2$

        $\frac{a^2+9y^2}{a^2-9y^2}-\frac{a-3y}{a+3y}$

  $=\frac{a^2+9y^2-\left(a-3y\right)\left(a-3y\right)}{a^2-9y^2}$

  $=\frac{a^2+9y^2-\left(a^2-6ay+9y^2\right)}{a^2-9y^2}$

  $=\frac{a^2+9y^2-a^2+6ay-9y^2}{a^2-9y^2}$

  $=\frac{6ay}{a^2-9y^2}$

লক্ষণীয় : বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার সময় প্রয়োজন হলে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে নিতে হবে।

যেমন, $\frac{a^{2}bc}{a{b}^{2}c}+\frac{a{b}^{2}c}{ab{c}^2}+\frac{ab{c}^2}{a^{2}bc}$

           $=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

           $=\frac{a\times ca}{b\times ca}+\frac{b\times ab}{c\times ab}+\frac{c\times bc}{a\times bc}$ [হর b,c,a এর ল.সা.গু. abc]

           $=\frac{c{a}^2}{abc}+\frac{a{b}^2}{abc}+\frac{b{c}^2}{abc}$

           $=\frac{c{a}^2+a{b}^2+b{c}^2}{abc}$

উদাহরণ ৭। সরল কর :

(ক) $\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{y-z}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}$

(খ) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x^2+4}$

(গ) $\frac{1}{1-a+a^2}-\frac{1}{1+a+a^2}-\frac{2a}{1+a^2+a^4}$

সমাধান : (ক)$\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{y-z}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}$

এখানে হর, (y+z)(z+x), (x+y)(z+x) ও (x+y)(y+z) এর ল.সা.গু. (x+y)(y+z)(z+x)

$\therefore \frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{y-z}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}$

   $=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$

   $=\frac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$

   $=\frac{0}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$

   $=0$

(গ) $\frac{1}{1-a+a^2}-\frac{1}{1+a+a^2}-\frac{2a}{1+a^2+a^4}$

এখানে, $1+a^2+a^4=1+2a^2+a^4-a^2$

                                   $={\left(1+a^2\right)}^2-a^2$

                                   $=\left(1+a^2+a\right)\left(1+a^2-a\right)$

                                   $=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)$

এখানে হর $1-a+a^2, 1+a+a^2$ ও $1+a^2+a^4$ এর ল.সা.গু. $\left(1+a+a^2\right)\left(1-a+a^2\right)$

                                                                                                              $=1+a^2+a^4$

$\therefore \frac{1}{1-a+a^2}-\frac{1}{1+a+a^2}-\frac{2a}{1+a^2+a^4}$

   $=\frac{1+a+a^2-1+a-a^2-2a}{1+a^2+a^4}$

   $=\frac{0}{1+a^2+a^4}$

   $=0$