বার্ণোলী প্রচেষ্টা হলো এমন একটি পরীক্ষা বা ঘটনা যা শুধুমাত্র দুটি সম্ভাব্য ফলাফলে শেষ হয়: সফলতা (Success) বা ব্যর্থতা (Failure)। প্রতিটি প্রচেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা স্থির থাকে।
১. প্রতিটি প্রচেষ্টা স্বাধীন এবং পূর্বের প্রচেষ্টার ফলাফল পরবর্তী প্রচেষ্টাকে প্রভাবিত করে না।
২. প্রতিটি প্রচেষ্টায় দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে:
দ্বিপদী চলক একটি বিশেষ ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যা বার্ণোলী প্রচেষ্টাগুলির ফলাফল গুলিকে মডেল করে। এটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রচেষ্টায় সফলতার সংখ্যা গণনা করে।
১. মোট \( n \) বার প্রচেষ্টা সম্পন্ন হয়।
২. প্রতিটি প্রচেষ্টা একটি বার্ণোলী প্রচেষ্টা।
৩. সফলতার সম্ভাবনা \( p \) ধ্রুবক।
৪. ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( q = 1 - p \)।
দ্বিপদী বিন্যাস হল এমন একটি সম্ভাব্যতা বিন্যাস যা একাধিক বার্ণোলী প্রচেষ্টার ফলাফল মডেল করে। এটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রচেষ্টায় \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করে।
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
যেখানে:
ধরা যাক, একটি মুদ্রা ৫ বার নিক্ষেপ করা হয়েছে। সফলতার সম্ভাবনা \( p = 0.5 \)।
\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^{5-3}
\]
বিষয় | বার্ণোলী প্রচেষ্টা | দ্বিপদী চলক | দ্বিপদী বিন্যাস |
---|---|---|---|
সংজ্ঞা | একক প্রচেষ্টা, দুটি ফলাফল। | সফলতার সংখ্যা মডেল করে। | সফলতার সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে। |
পরীক্ষার সংখ্যা | একক প্রচেষ্টা। | \( n \) প্রচেষ্টা। | \( n \) প্রচেষ্টা। |
ফলাফল | সফল বা ব্যর্থ। | সফলতার সংখ্যা। | সফলতার সম্ভাবনা। |
গাণিতিক মডেল | শুধুমাত্র \( p \) ও \( 1-p \)। | \( X \): সফলতার সংখ্যা। | \( P(X = k) \): সম্ভাবনা। |
বার্ণোলী প্রচেষ্টা একটি একক ঘটনা বা পরীক্ষা যেখানে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে। একাধিক বার্ণোলী প্রচেষ্টার সফলতার সংখ্যা গণনা করতে দ্বিপদী চলক ব্যবহার করা হয়। এই চলকের সম্ভাব্যতা বিন্যাসকে বলা হয় দ্বিপদী বিন্যাস। এটি বাস্তব জীবনের বহু সমস্যার মডেলিংয়ে গুরুত্বপূর্ণ।