3x + by + 1 = 0 এবং ax + 6y + 1 = 0 রেখাদ্বয় (5, 4) বিন্দুতে ছেদ করে; a ও b এর মান নির্ণয় কর। যদি প্রথম রেখাটি x-অক্ষকে A বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রেখাটি y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে, তবে AB এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [KUET: 19-20,

প্রথমে, (5,4) বিন্দুটি রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হিসাবে দেওয়া আছে। সুতরাং, এই বিন্দু দুটি রেখার সমীকরণে বসালে আমরা a এবং b এর মান বের করতে পারি।

প্রথম রেখার সমীকরণ: 3x+by+1=0 (5,4) বিন্দুতে বসালে: 3(5)+b(4)+1=0 15+4b+1=0 4b+16=0 4b=−16 b=−4

দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: ax+6y+1=0 (5,4) বিন্দুতে বসালে: a(5)+6(4)+1=0 5a+24+1=0 5a+25=0 5a=−25 a=−5

এখন, রেখাদ্বয়ের a এবং b এর মান পাওয়া গেছে: a=−5 এবং b=−4।

প্রথম রেখাটি x-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে y=0: 3x+(−4)(0)+1=0 3x+1=0 3x=−1 x=−31​ তাহলে, A বিন্দুটি হলো (−31​,0)।

দ্বিতীয় রেখাটি y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে x=0: (−5)(0)+6y+1=0 6y+1=0 6y=−1 y=−61​ তাহলে, B বিন্দুটি হলো (0,−61​)।

A(−31​,0) এবং B(0,−61​) বিন্দু দুটি থেকে AB রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে A এবং B এর মধ্যবর্তী ঢাল (slope) নির্ণয় করি: m=x2​−x1​y2​−y1​​=0−(−31​)−61​−0​=31​−61​​=−61​×13​=−21​

এখন, A(−31​,0) বিন্দুতে রেখার সমীকরণ ব্যবহার করে: y−y1​=m(x−x1​) y−0=−21​(x+31​) y=−21​x−21​×31​ y=−21​x−61​

তাহলে, AB রেখার সমীকরণ হলো: y=−21​x−61​ বা, 2y=−x−31​ x+2y+31​=0 3x+6y+1=0

এটাই AB রেখার সমীকরণ।

Uপ্রথমে \(3x + by + 1 = 0\) এবং \(ax + 6y + 1 = 0\) রেখাদ্বয় \( (5, 4) \) বিন্দুতে ছেদ করে, তা ব্যবহার করে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় করব।

\[
3(5) + b(4) + 1 = 0
\]
\[
15 + 4b + 1 = 0
\]
\[
16 + 4b = 0
\]
\[
4b = -16
\]
\[
b = -4
\]

এবার, \(ax + 6y + 1 = 0\) রেখার জন্য,

\[
a(5) + 6(4) + 1 = 0
\]
\[
5a + 24 + 1 = 0
\]
\[
5a + 25 = 0
\]
\[
5a = -25
\]
\[
a = -5
\]

তাহলে, \(a = -5\) এবং \(b = -4\)।

এখন, প্রথম রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(x\)-অক্ষের উপর \(y = 0\) হওয়ায়, রেখার সমীকরণটি হবে:
\[
3x + 0 \cdot y + 1 = 0
\]
\[
3x + 1 = 0
\]
\[
3x = -1
\]
\[
x = -\frac{1}{3}
\]
তাহলে \(A\) বিন্দুটি হলো \( \left(-\frac{1}{3}, 0 \right) \)।

এবার, দ্বিতীয় রেখাটি \(y\)-অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(y\)-অক্ষের উপর \(x = 0\) হওয়ায়, রেখার সমীকরণটি হবে:
\[
-5 \cdot 0 + 6y + 1 = 0
\]
\[
6y + 1 = 0
\]
\[
6y = -1
\]
\[
y = -\frac{1}{6}
\]
তাহলে \(B\) বিন্দুটি হলো \( \left(0, -\frac{1}{6} \right) \)।

এখন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দুর মধ্যকার রেখার সমীকরণ