হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন (Homogeneous Recurrence Relation)
হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন হলো এমন একটি রিকারেন্স রিলেশন যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদগুলোর উপর নির্ভরশীল এবং নির্দিষ্ট কোনো ধ্রুবক (constant) বা ফাংশন যুক্ত থাকে না। সাধারণভাবে, \(a_n\) একটি হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন হলে তার গাণিতিক কাঠামো হবে:
\[
a_n = c_1 \cdot a_{n-1} + c_2 \cdot a_{n-2} + \dots + c_k \cdot a_{n-k}
\]
এখানে \(c_1, c_2, \dots, c_k\) হলো ধ্রুবক। এই ধরনের রিকারেন্স রিলেশন সমাধান করতে সাধারণত চরিত্রগত সমীকরণ (characteristic equation) ব্যবহার করা হয়।
উদাহরণ
একটি দ্বিতীয়-স্তরের হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন হলো:
\[
a_n = 3a_{n-1} - 4a_{n-2}
\]
এখানে \( a_n \) আগের দুটি পদ, \( a_{n-1} \) এবং \( a_{n-2} \), দ্বারা নির্ধারিত। চরিত্রগত সমীকরণ ব্যবহার করে এ ধরনের রিকারেন্স রিলেশনের সমাধান করা হয়।
নন-হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন (Non-Homogeneous Recurrence Relation)
নন-হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন হলো এমন একটি রিকারেন্স রিলেশন যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদগুলোর উপর নির্ভরশীল এবং এতে একটি অতিরিক্ত ফাংশন \(f(n)\) যুক্ত থাকে, যা ধ্রুবক বা \(n\)-এর উপর নির্ভরশীল কোনো ফাংশন হতে পারে। নন-হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশনের সাধারণ রূপ হলো:
\[
a_n = c_1 \cdot a_{n-1} + c_2 \cdot a_{n-2} + \dots + c_k \cdot a_{n-k} + f(n)
\]
এখানে \(f(n) \neq 0\) অর্থাৎ এটি একটি বহিঃস্থ ফাংশন যোগ করা হয়েছে।
উদাহরণ
একটি দ্বিতীয়-স্তরের নন-হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশন হলো:
\[
a_n = 2a_{n-1} + 3a_{n-2} + 5
\]
এখানে \(5\) হলো বহিঃস্থ ধ্রুবক ফাংশন \(f(n) = 5\), যা রিকারেন্স রিলেশনের সাথে যুক্ত হয়েছে।
নন-হোমোজিনিয়াস রিকারেন্স রিলেশনের সমাধান করতে হোমোজিনিয়াস অংশের জন্য সমাধান বের করা হয়, তারপর একটি বিশেষ সমাধান \(f(n)\)-এর জন্য নির্ণয় করা হয় এবং চূড়ান্ত সমাধান বের করতে উভয়কে যোগ করা হয়।
Read more
