অন্বয়টি কি?

ফাংশন (Function) হলো এক ধরনের অন্বয় বা সম্পর্ক যেখানে ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য রেঞ্জে কেবল একটি এবং কেবলমাত্র একটি প্রতিচ্ছবি (image) থাকে। অন্যভাবে বলা যায়, ডোমেইনের একই উপাদান থেকে দুটি ভিন্ন প্রতিচ্ছবি থাকতে পারে না।

প্রদত্ত অন্বয়টি \(F = \{(- 2, 4), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)\}\)।

এখানে, ডোমেইনের উপাদানগুলো হলো \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\)।

আমরা দেখি:

    
• \(x = -2\) এর জন্য \(y = 4\)
    
• \(x = -1\) এর জন্য \(y = 1\)
    
• \(x = 0\) এর জন্য \(y = 0\)
    
• \(x = 1\) এর জন্য \(y = 1\)
    
• \(x = 2\) এর জন্য \(y = 4\)

লক্ষ্য করুন, ডোমেইনের প্রতিটি উপাদানের জন্য রেঞ্জে শুধুমাত্র একটি করে প্রতিচ্ছবি আছে। অর্থাৎ, কোনো একটি নির্দিষ্ট \(x\) মানের জন্য একাধিক \(y\) মান নেই। উদাহরণস্বরূপ, \(x = -1\) এর জন্য \(y = 1\) এবং \(x = 1\) এর জন্যও \(y = 1\)। এতে কোনো সমস্যা নেই, কারণ দুটি ভিন্ন ডোমেইন উপাদান একই রেঞ্জ উপাদানে ম্যাপ করতে পারে। কিন্তু একই ডোমেইন উপাদান দুটি ভিন্ন রেঞ্জ উপাদানে ম্যাপ করতে পারবে না। যেহেতু এখানে এমন কোনো ঘটনা ঘটেনি, তাই এটি একটি ফাংশন।

এক-এক ফাংশন (One-to-one function) হওয়ার শর্ত হলো, ডোমেইনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের জন্য রেঞ্জে ভিন্ন ভিন্ন প্রতিচ্ছবি থাকতে হবে। অর্থাৎ, যদি \(f(x_1) = f(x_2)\) হয়, তাহলে অবশ্যই \(x_1 = x_2\) হতে হবে।

প্রদত্ত অন্বয় \(F\) এর ক্ষেত্রে, আমরা দেখি:

    
• \(f(-1) = 1\) এবং \(f(1) = 1\), যেখানে \(-1 \neq 1\)
    
• \(f(-2) = 4\) এবং \(f(2) = 4\), যেখানে \(-2 \neq 2\)

যেহেতু ডোমেইনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদান (\(-1\) এবং \(1\), বা \(-2\) এবং \(2\)) রেঞ্জের একই উপাদানে (\(1\) বা \(4\)) ম্যাপ করেছে, তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।

সুতরাং, প্রদত্ত অন্বয়টি একটি ফাংশন, কিন্তু এক-এক ফাংশন নয়।

অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:

    
• ১. ফাংশন: এটি সঠিক। কারণ, অন্বয়টি ফাংশনের সংজ্ঞা মেনে চলে।
    
• ২. ফাংশন নয়: এটি ভুল।
    
• ৩. কেবল সঠিক ফাংশন: "সঠিক ফাংশন" একটি অ-প্রমিত পরিভাষা। এটি প্রথম অপশনের চেয়ে কম নির্দিষ্ট এবং বিভ্রান্তিকর।
    
• ৪. কেবল এক এক ফাংশন: এটি ভুল। কারণ, অন্বয়টি এক-এক ফাংশন নয়।

সর্বোত্তম ও নির্ভুল উত্তর হলো "ফাংশন"।