উচ্চতা বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলক ও একটি সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত কত?

প্রদত্ত প্রশ্নটিতে একটি অর্ধগোলক ও একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা সমান বলা হয়েছে। এই ধরনের গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য, যদি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ উল্লেখ না থাকে এবং উভয় বস্তুর উচ্চতা সমান বলা হয়, তবে সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধও অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের সমান এবং এটি তাদের সাধারণ উচ্চতার সমান।

ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ \(r\)।

তাহলে, অর্ধগোলকের উচ্চতা হবে \(h_{অর্ধগোলক} = r\)।

প্রশ্নানুসারে, সিলিন্ডারের উচ্চতা \(h_{সিলিন্ডার}\) অর্ধগোলকের উচ্চতার সমান। সুতরাং, \(h_{সিলিন্ডার} = r\)।

এবং, উপরোক্ত সাধারণ ধারণার ভিত্তিতে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধও \(r\) ধরা হয়।

এখন, আমরা তাদের আয়তনের সূত্রগুলি ব্যবহার করব:

    
• অর্ধগোলকের আয়তন \(V_{অর্ধগোলক} = \frac{2}{3}\pi r^3\)
    
• সিলিন্ডারের আয়তন \(V_{সিলিন্ডার} = \pi (\text{ব্যাসার্ধ})^2 (\text{উচ্চতা})\)

আমাদের ধরা শর্তানুসারে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং উচ্চতা \(h_{সিলিন্ডার} = r\)।

সুতরাং, সিলিন্ডারের আয়তন হবে:

\(V_{সিলিন্ডার} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\)

এখন, অর্ধগোলক ও সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি:

\(V_{অর্ধগোলক} : V_{সিলিন্ডার} = \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3\)

উভয় পক্ষ থেকে \(\pi r^3\) বাদ দিলে পাই:

\( = \frac{2}{3} : 1\)

অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ করার জন্য উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করি:

\( = (\frac{2}{3} \times 3) : (1 \times 3)\)

\( = 2 : 3\)

সুতরাং, অর্ধগোলক ও সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত হল 2 : 3।