উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

উদ্দীপক অনুসারে-
i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h
ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h
iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h
নিচের কোনটি সঠিক?

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

i ও ii
খ

i ও iii
গ

ii ও iii
ঘ

i, ii ও iii

পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র লম্ব উপাংশে ভেক্টরের বিভাজন এইচএসসি ঢাকা বোর্ড - 2025

ব্যাখ্যাঃ

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো:

নদীর প্রস্থ, $d = 4.0 \text{ km}$
নদীর স্রোতের বেগ, $v_r = 9 \text{ kmh}^{-1}$
স্থির পানিতে সাতারুর বেগ, $v_s = 18 \text{ kmh}^{-1}$

এখন, আমরা প্রতিটি বিবৃতির সত্যতা যাচাই করব:

i. সাতারুর ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময় = 0.256h:

ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার জন্য সাতারুকে স্রোতের প্রতিকূলে নির্দিষ্ট কোণে সাঁতার কাটতে হয় যাতে তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর হয়। যদি সাতারু নদীর প্রস্থের সাথে $\theta$ কোণে (স্রোতের প্রতিকূলে) সাঁতার কাটে, তবে ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার শর্ত হলো:

$v_s \sin\theta = v_r$

$\sin\theta = \frac{v_r}{v_s} = \frac{9 \text{ kmh}^{-1}}{18 \text{ kmh}^{-1}} = 0.5$

$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ$

এই ক্ষেত্রে, নদীর প্রস্থ বরাবর সাতারুর বেগের কার্যকরী উপাংশ হবে:

$v_{sy} = v_s \cos\theta = 18 \cos(30^\circ)$

$v_{sy} = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ kmh}^{-1}$

ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার সময়, $T_{min\_dist} = \frac{d}{v_{sy}}$

$T_{min\_dist} = \frac{4.0 \text{ km}}{9\sqrt{3} \text{ kmh}^{-1}}$

$T_{min\_dist} \approx \frac{4}{9 \times 1.73205} \approx \frac{4}{15.58845} \approx 0.2566 \text{ h}$

প্রায় $0.256 \text{ h}$

সুতরাং, বিবৃতি i সঠিক।

ii. সাতারুর ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h:

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য সাতারুকে নদীর প্রস্থ বরাবর সোজা (নদীর পাড়ের সাথে লম্বভাবে) সাঁতার কাটতে হয়। এই ক্ষেত্রে, তার সম্পূর্ণ বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর কাজ করে।

নদীর প্রস্থ বরাবর সাতারুর বেগ হবে, $v_s = 18 \text{ kmh}^{-1}$

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার সময়, $T_{min\_time} = \frac{d}{v_s}$

$T_{min\_time} = \frac{4.0 \text{ km}}{18 \text{ kmh}^{-1}}$

$T_{min\_time} = \frac{2}{9} \approx 0.2222 \text{ h}$

প্রায় $0.22 \text{ h}$

সুতরাং, বিবৃতি ii সঠিক।

iii. সাতারুর নদী পার হওয়ার সময় = 0.22h:

বিবৃতি iii-তে "সাতারুর নদী পার হওয়ার সময়" বলতে একটি সম্ভাব্য সময়কে বোঝানো হয়েছে। আমরা বিবৃতি ii থেকে দেখেছি যে সাতারু ন্যূনতম $0.22 \text{ h}$ সময়ে নদী পার হতে পারে। যেহেতু $0.22 \text{ h}$ একটি সম্ভাব্য এবং সঠিক পারাপারের সময় (বিশেষ করে ন্যূনতম সময়), তাই এই বিবৃতিটিও সঠিক। উল্লেখ্য, চিত্রে প্রদর্শিত $30^\circ$ কোণে (নদীর প্রস্থের সাথে) সাঁতার কাটার সময়টি $0.256 \text{ h}$ হবে, কিন্তু এই বিবৃতিতে শুধুমাত্র একটি মান ($0.22 \text{ h}$) দেওয়া হয়েছে যা সাতারুর জন্য একটি সম্ভাব্য পারাপারের সময়।

সুতরাং, বিবৃতি iii সঠিক।

যেহেতু i, ii এবং iii তিনটি বিবৃতিই সঠিক, তাই সঠিক উত্তর হবে i, ii ও iii।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 76

Practice

লম্ব উপাংশে ভেক্টরের বিভাজন

একটি ভেক্টর রাশিকে সামান্তরিক সূত্রের দ্বারা বহুভাবে দুটি ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করা যায়। এই পদ্ধতির নাম ভেক্টর রাশির বিভাজন। সুতরাং একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর রাশির বিভাজন বা বিশ্লেষণ বলে। এই বিভক্ত ভেক্টর রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল ভেক্টর রাশির এক একটি অংশক বা উপাংশ (Component) বলে।

(i) যে কোন দুই উপাংশে বিভাজন :

মনে করি R একটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OB সরলরেখাটি তার মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ১.২২]। OB-এর সাথে দুই পাশে $α$ ও $β$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ দুটি দিকে একে দুটি উপাংশে বিভক্ত করতে হবে।

এখন O বিন্দু হতে OB-এর সাথে দুই পাশে $α$ এবং $β$ কোণ করে OA এবং OC রেখা দুটি টানি। OB-কে কর্ণ করে OABC সামান্তরিকটি অঙ্কন করি।

সুতরাং সামান্তরিকের সূত্রানুযায়ী OB দ্বারা সূচিত ভেক্টর রাশি $\vec{R}$ -এর দুটি অংশকের বা উপাংশের মান ও দিক $\vec{OA}$ এবং $\vec{OC}$ নির্দেশ করবে।

বর্ণনানুসারে OC এবং AB সমান্তরাল এবং OB তাদেরকে যুক্ত করেছে। কাজেই β

এখন ত্রিকোণমিতি ও ত্রিভুজের ধর্মানুসারে $∆$ OAB হতে আমরা পাই,

$\frac{O A}{s i n β} = \frac{A B}{s i n α} = \frac{O B}{s i n < O A B}$

আবার AB = OC এবং (α+β)

$\frac{O A}{s i n β} = \frac{A B}{s i n α} = \frac{O B}{s i n [180 ° - (α + β)]}$

$\vec{OA}$ এবং $\vec{OC}$ দ্বারা সূচিত উপাংশ দুটির মান যথাক্রমে P এবং Q-এর সমান ধরে আমরা পাই,

$\frac{P}{s i n β} = \frac{Q}{s i n α} = \frac{R}{s i n [180 ° - (α + β)]} = \frac{R}{s i n (α + β)}$

$P = \frac{R s i n β}{s i n (α + β)}$

$Q = \frac{R s i n α}{s i n (α + β)}$

সমীকরণ (13) ও (14) R ভেক্টরের উপাংশের সমীকরণ।

(ii) লম্ব উপাংশে বিভাজন :

যদি R ভেক্টরকে সমকোণে বিভাজিত করা হয় অর্থাৎ, P এবং Q উপাংশ দুটি পরস্পর সমকোণী হয় [চিত্র ১.২৩], তবে $(α + β)$ = 90°

$\sin (α + β) = \sin (90 °) = 1 \sin β = \sin (90 ° - α) = \cos (α) \frac{P}{\cos (α)} = \frac{Q}{\sin (α)} = R P = R c o s α Q = R s i n α$

P এবং Q উপাংশ দুটিকে মূল ভেক্টর রাশি R-এর নম্বাংশ বলে। P-কে অনুভূমিক উপাংশ (Horizontal components) এবং Q-কে উলম্ব উপাংশ (Tangential components) বলে।

১.৯ একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ

একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ করতে গিয়ে আমরা দুটি বিষয় বিবেচনা করব। একটি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র ও অপরটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র। নিম্নে বিষয় দুটি পৃথকভাবে আলোচিত হল।

(ক) দ্বিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে :

ধরা যাক পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX ও OY সরলরেখা দুটি যথাক্রমে X ও Y অক্ষ নির্দেশ করছে [ চিত্র ১.২৪ ]। XY সমতলে X অক্ষের সাথে $θ$ কোণে অবস্থিত OP রেখাটি দ্বারা r মানের একটি ভেক্টর রাশি $\vec{r}$ -এর মান ও দিক নির্দিষ্ট হয়েছে। আরও ধরা যাক P-এর স্থানাঙ্ক (x, y) এবং ধনাত্মক X ও Y অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ ।

P হতে X অক্ষের উপর PN লম্ব টানি ।

তা হলে চিত্র অনুসারে ON = x, NP = y এবং OP =r.

$\vec{O N} = x \hat{i}, \vec{N P} = y \hat{j}, \vec{O P} = \vec{r}$

এখন, ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে,

$\vec{O P} = \vec{O N} + \vec{N P} \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$

ভেক্টরের মান

চিত্র ১:২৪ হতে আমরা পাই,

$O P^{2} = O N^{2} + N P^{2} r^{2} = x^{2} + y^{2} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\vec{r}$ বা $\vec{r}$ -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর :

$\vec{r}$ বরাবর বা $\vec{r}$ -এর সমাস্তরাল একক ভেক্টর,

$\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r} = \frac{x \hat{i} + y \hat{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

(খ)ত্রিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের বেলায় অনুরূপভাবে লেখা যায়,

$\hat{i}$ = = $\hat{i}$ x + $\hat{i}$ y + $\hat{k}$ z. এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x, y, z) |

প্রমাণ : ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OY ও OZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X, Y ও z অক্ষ নির্দেশ করছে | চিত্র ১২৫ ।। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় মানের একটি ভেক্টর রাশি নির্দেশ করছে। আরও মনে করি P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i,} \hat{j}, \hat{k}$ | PN রেখাটি হল XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হল OX-এর উপর লম্ব।

তা হলে $\vec{O P}$ = $\vec{O N}$ + $\vec{N P}$

$\vec{O N}$ = $\vec{O Q}$ + $\vec{O N}$

$\vec{O P}$ = $\vec{O Q}$ + $\vec{O N}$ + $\vec{N P}$