একটি গতিশীল বস্তুর সরণের সমীকরণ $x=4t^2+10t m$ হলে 0.5 min পর বস্তুটির বেগ কত?

অবস্থান ও সময়

কোনো গতিশীল বস্তুর অবস্থান বা স্থানাঙ্ক X সময় t এর উপর নির্ভর করে। এ নির্ভরশীলতা জানা থাকলে আমরা যে কোনো মুহূর্তে বস্তুটির অবস্থান বের করতে পারি।

 ধরা যাক, কোনো বস্তুর অবস্থান x কে সময় t এর অপেক্ষকরূপে নিম্নোক্ত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

x = 18m + (12ms^-1 ) t - (1.2ms^-2 ) t^{2  ... …} (3.10)

সময় ও অবস্থান সারণি

(3.10) সমীকরণে t এর যে কোনো মান বসালে ঐ সময়ে বস্তুটির অবস্থান পাওয়া যায়। 1 = 0.0 থেকে 1 = 8.0 s পর্যন্ত  1 s অন্তর অন্তর বস্তুর অবস্থান ৩.১ সারণিতে প্রদত্ত হলো।

একটি সোজা, মসৃণ ও ঢালু রাস্তা বরাবর উপরের দিকে গতিশীল কোনো গাড়ির ইঞ্জিন হঠাৎ বন্ধ হয়ে গেলে গাড়িটি ক্রমাগত ধীরে ধীরে উপরে উঠতে থাকে, এক সময় মুহূর্তের জন্য থামে এবং পুনরায় ঢাল বরাবর নিচে নামতে থাকে। এ রকম একটি গাড়ির গতি বিশ্লেষণ করে তার অবস্থান কে সময়। এর অপেক্ষকরূপে (3.10) সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে এবং বিভিন্ন সময়ে এর অবস্থান ৩.১ সারণিতে দেখানো হয়েছে। এখানে গাড়িটির গতিপথ বরাবর x পরিমাপ করা হয়েছে এবং ঢাল বরাবর উপরের দিককে ধনাত্মক ধরা হয়েছে।

অবস্থান-সময় লেখচিত্র

একটি ছক কাগজের X-অক্ষের দিকে সময় এবং Y-অক্ষের দিকে অবস্থান নিয়ে অবস্থান-সময় লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়। ৩.১ সারণির উপাত্তের জন্য X বনাম t লেখচিত্র ৩-৪ক চিত্রে দেখানো হলো। এ লেখচিত্র থেকে যেকোনো সময়তে বস্তুর অবস্থান x নির্ণয় করা যায়। যেমন : ৩.৪ খ চিত্রে OM = 1 এর জন্য অবস্থান ON = x পাওয়া যায়।

অবস্থান সময় লেখচিত্র থেকে বেগ নির্ণয়

x বনাম লেখচিত্র থেকে বস্তুর যেকোনো মুহূর্তের t বেগ নির্ণয় করা যায়। কোনো বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢালকেই ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল হিসেবে বিবেচনা করা হয়। x বনাম লেখচিত্রে t  এর সাপেক্ষে x এর অন্তরক $\frac{dx}{dt}$ দ্বারা এই ঢাল প্রকাশ করা হয় । যেহেতু V = $\frac{dx}{dt}$, তাই কোনো বিশেষ মুহূর্তে x বনাম । dt লেখচিত্রের ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ পাওয়া যায়। ৩.৫ চিত্রে t সময়ে লেখচিত্রের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক APB এর ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ v পাওয়া যায়,

v= $\frac{BC}{AC}$

৩.৭। বেগ-সময় লেখচিত্র 

Velocity-Time Graph

বেগ ও সময়

কোনো বস্তুর গতিকালে যদি তার বেগের মান বা দিক বা উভয়ই পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ বেগ যদি সময়ের অপেক্ষক হয় তাহলে সেই বেগকে বলা হয় অসমরবেগ। 

আমরা সচরাচর যে সব গতিশীল বস্তু দেখি তাদের বেগ অসমবেগ।

 একমাত্রিক গতির ক্ষেত্রে সময়ের অপেক্ষক হিসেবে বেগ v এর জন্য একটি সমীকরণ নির্ণয় করা যাক। যেহেতু

V = $\frac{dx}{dt}$,  তাই (3.10) সমীকরণকে t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে অসমবেগ v পাই। 

 V = $\frac{dx}{dt}$= $\frac{d}{dt}$

= 0 + 12m s^-1 - 2 x ( 1.2 ms^-2 )t 

:- v = 12m s^-1 - (2.4m s^-2 )t …... (3.11)

সময় ও বেগ সারণি

(3.11) সমীকরণে t = 0 s থেকে শুরু করে প্রতি 1 s অন্তর অন্তর t এর মান বসিয়ে t = 8 s পর্যন্ত বস্তুর বেগ হিসাব করে ৩.২ সারণিতে স্থাপন করা হলো।

বেগ-সময় লেখচিত্র

একটি ছক কাগজের X অক্ষের দিকে সময় t এবং Y-অক্ষের

দিকে বেগ v নিয়ে বেগ বনাম সময় লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়।

 এ লেখচিত্র থেকে যেকোনো সময় t তে বস্তুর বেগ v নির্ণয় করা যায়।

(৩.২) সারণির উপাত্তের জন্য v বনাম t লেখচিত্রটি ৩.৬ চিত্রে দেখানো হলো। চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে সময়ের সাথে সাথে বেগ v কমে যাচ্ছে। চিত্র থেকে আরো দেখা যায় এক সময় v শূন্য অতিক্রম করছে। এর থেকে বোঝা যায় এ সময় বস্তুটি তার বিপরীত যাত্রা শুরুর পূর্বে মুহূর্তের জন্য স্থির ছিল।

বেগ-সময় লেখচিত্র থেকে ত্বরণ নির্ণয়

V  বনাম t লেখচিত্র থেকে বস্তুর যেকোনো মুহূর্তের ত্বরণ নির্ণয় করা যায়। কোনো বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢালকেই ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল হিসেবে বিবেচনা করা হয়। v বনাম t লেখচিত্রে t এর সাপেক্ষে vএর অন্তরক $\frac{dv}{dt}$ দ্বারা এই ঢাল প্রকাশ করা হয়। 

যেহেতু a = $\frac{dv}{dt}$ তাই কোনো বিশেষ মুহূর্তে v বনাম t লেখচিত্রের ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের ত্বরণ a পাওয়া যায়। ৩.৭ চিত্রে আরেকটি বনাম লেখচিত্র দেখানো হলো। এটি কিন্তু ইতোপূর্বে আলোচিত বস্তুর সাথে সম্পর্কিত নয়। ৩-৭ চিত্রে সময়ে লেখচিত্রের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক APB এর ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের ত্বরণ a পাওয়া যায়,

$a=\frac{BC}{AC}$

৩.৮। গতি বর্ণনায় অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণের ব্যবহার : গতির সমীকরণ প্রতিপাদন 

Uses of Differentiation and Integration in describing Motion: Deduction of Equations of Motion

দ্বিতীয় অধ্যায়ে অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে আমরা অন্তরীকরণ ও যোগজীকরণের ধারণা রৈখিক গতি বর্ণনায় ব্যবহার করবো।

গতির সমীকরণ

Equations of Motion

সমত্বরণ গতি একটি সরল গতি। ধরা যাক, কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট দিকে সমত্বরণে গতিশীল। বস্তুটি যে সরলরৈখিক পথে গতিশীল সে দিকে X-অক্ষ বিবেচনা করা যাক। কণাটি সমত্বরণে চলে বলে তার ত্বরণ a = ধ্রুবক ।

গতিশীল কোনো বস্তুর গতির ক্ষেত্রে গতির আদি শর্তাদি অর্থাৎ আদি অবস্থান x_o ও আদি বেগ v_o ছাড়াও গতির চারটি চলক আছে। এগুলো হলো অবস্থান x, বেগ, ত্বরণ a এবং গতিকাল বা সময় । এগুলো পরস্পর সম্পর্কিত। এ চারটি চলকের যে কোনো দুটি জানা থাকলে বাকি দুটি নির্ণয় করা যায়। এ জন্য চারটি সমীকরণ আছে, প্রত্যেকটি সমীকরণে আদি শর্তাদি ব্যতীত তিনটি চলক থাকে, যার দুটি জানা থাকলে তৃতীয়টি বের করা যায়। এ সমীকরণগুলোই গতির সমীকরণ নামে পরিচিত। নিম্নে এ সমীকরণগুলো প্রতিপাদন করা হলো।

প্রথম সমীকরণ: শেষ বেগ, ত্বরণ ও গতিকালের সম্পর্ক

V = V_o + at

ধরা যাক, একটি বস্তু X - অক্ষ বরাবর a সমত্বরণে গতিশীল। আরো ধরা যাক, সময় গণনার শুরুতে অর্থাৎ যখন 1 = 0 তখন এর আদি বেগ t অন্য যেকোনো সময় t তে এর বেগ v_o 

যেহেতু সময়ের সাপেক্ষে বেগের অন্তরককে ত্বরণ বলে,

:-a = $\frac{dv}{dt}$ 

(খ) দ্বিতীয় সমীকরণ : অবস্থান বা সরণ, শেষবেগ ও গতিকালের সম্পর্ক

$x=x_o+\left(\frac{v_o+v}{2}\right)t, s=\left(\frac{v_o+v}{2}\right)t$

ধরা যাক, একটি বস্তু X অক্ষ বরাবর সমরণে গতিশীল। আরো ধরা যাক, সময় গণনার শুরুতে অর্থাৎ যখন r = 0 তখন এর আদি অবস্থান x_o এবং আদি বেগ v_o । অন্য যেকোনো সময়তে t=t এর অবস্থান x এবং এর বেগ v গড় বেগের সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র সময় ব্যবধানের বেগ ও সময় ব্যবধানের গুণফলের সমষ্টি নিয়ে তাকে মোট সময় ব্যবধান দিয়ে ভাগ করে ঐ সময় ব্যবধানের গড় বেগ পাওয়া যায়।