একটি ঘড়ির সেকেন্ড, মিনিট ও ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত কত?

কৌণিক বেগ (\(\omega\)) হলো একক সময়ে যে পরিমাণ কৌণিক সরণ হয়। এর সূত্র হলো: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), যেখানে \(T\) হলো পর্যায়কাল (একটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করতে প্রয়োজনীয় সময়)।

একটি ঘড়ির কাঁটার জন্য:

    
• সেকেন্ডের কাঁটা: একটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করতে 60 সেকেন্ড সময় নেয়।
      অতএব, সেকেন্ডের কাঁটার পর্যায়কাল, \(T_s = 60\) সেকেন্ড।
      সেকেন্ডের কাঁটার কৌণিক বেগ, \(\omega_s = \frac{2\pi}{60}\) rad/s।
    
    
• মিনিটের কাঁটা: একটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করতে 60 মিনিট সময় নেয়।
      অতএব, মিনিটের কাঁটার পর্যায়কাল, \(T_m = 60 \times 60 = 3600\) সেকেন্ড।
      মিনিটের কাঁটার কৌণিক বেগ, \(\omega_m = \frac{2\pi}{3600}\) rad/s।
    
    
• ঘণ্টার কাঁটা: একটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করতে 12 ঘণ্টা সময় নেয়।
      অতএব, ঘণ্টার কাঁটার পর্যায়কাল, \(T_h = 12 \times 60 \times 60 = 43200\) সেকেন্ড।
      ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগ, \(\omega_h = \frac{2\pi}{43200}\) rad/s।

এখন, সেকেন্ড, মিনিট ও ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত হবে:

\(\omega_s : \omega_m : \omega_h = \frac{2\pi}{60} : \frac{2\pi}{3600} : \frac{2\pi}{43200}\)

উভয় পক্ষকে \(2\pi\) দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(= \frac{1}{60} : \frac{1}{3600} : \frac{1}{43200}\)

ভগ্নাংশ দূর করার জন্য, 60, 3600 এবং 43200 এর ল.সা.গু. (LCM) দ্বারা গুণ করতে হবে। ল.সা.গু. হলো 43200।

\(= \left(\frac{1}{60} \times 43200\right) : \left(\frac{1}{3600} \times 43200\right) : \left(\frac{1}{43200} \times 43200\right)\)

\(= 720 : 12 : 1\)

সুতরাং, সেকেন্ড, মিনিট ও ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত হলো 720 : 12 : 1।