একটি দ্বি-উত্তল অভিসারি লেন্সের প্রত্যেক পৃষ্ঠের বক্রতার ব্যাসার্ধ 30cm এবং গ্লাসের প্রতিসরাঙ্ক 1.50। লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য কত হবে? (The radius of curvatures of both surfaces of a double convex lens are 30cm each and refractive index of glass is 1.50. What will be focal length of the lens?)

     কোনো প্রতিসারক মাধ্যম দুটি গোলীয় পৃষ্ঠ দ্বারা সীমাবদ্ধ হলে লেন্স গঠিত হয়। সুতরাং লেন্সের মধ্য দিয়ে আলোক রশ্মি গমনের সময় দুবার প্রতিসরিত হয়। একবার লেঙ্গে প্রবেশের সময় ও দ্বিতীয়বার লেন্স থেকে বের হবার সময়।

     ধরা যাক, LOL' একটি সরু লেন্স [চিত্র ৬.১১]। লেন্সটি বায়ু মাধ্যমে অবস্থিত। লেন্সের উপাদানের প্রতিসরাঙ্ক $\mu$। ধরা যাক, লেন্সের প্রধান অক্ষের উপর P একটি বিন্দু লক্ষ্যবস্তু। P বস্তু থেকে নিঃসৃত একটি আলোক রশ্মি প্রধান অক্ষ PO বরাবর A₁ বিন্দুতে আপতিত হয়ে সোজাসুজি প্রতিসরিত হয়। অপর আলোকরশ্মি লেন্সের প্রথম পৃষ্ঠে প্রতিসরিত হয়ে প্রধান অক্ষের উপরস্থ Q' বিন্দুতে বিশ্ব গঠন করে। সুতরাং লেন্সের দ্বিতীয় পৃষ্ঠের বেলায় আলো Q' বিন্দু থেকে আসছে বলে মনে হয়। সুতরাং Q' হবে দ্বিতীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে অবাস্তব লক্ষ্যবস্তু। রশ্মি দুটি দ্বিতীয় পৃষ্ঠে প্রতিসরণের পর Q বিন্দুতে প্রকৃতপক্ষে মিলিত হয় । সুতরাং Q হচ্ছে P বিন্দুর চূড়ান্ত বাস্তব বিশ্ব [চিত্র 6.11] ।

     এখন লেন্সের প্রথম পৃষ্ঠে প্রতিসরণ বিবেচনা করলে এবং সরু লেন্স বলে এর পুরুত্ব উপেক্ষা করলে প্রথম পৃষ্ঠের মেরু A₁, এবং লেন্সের আলোক কেন্দ্র O কে একই বিন্দু O বিবেচনা করা যায় । অতএব,

লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব, OP = u.. (6.8)

বিম্বের দূরত্ব, OQ' = v'.. (6.9)

(6.8) সমীকরণ থেকে আমরা পাই,

$\frac{\mu }{v`}+\frac{1}{u}=\frac{\mu -1}{r_1}$.. (6.10)

 এখানে r₁ লেন্সের প্রথম পৃষ্ঠের বক্রতার ব্যাসার্ধ।

 আবার, লেন্সের দ্বিতীয় পৃষ্ঠে প্রতিসরণের সময় আলো লেন্স থেকে বায়ুতে প্রবেশ করেছে। এক্ষেত্রে দ্বিতীয় পৃষ্ঠের মেরু A₂ এবং লেন্সের আলোক কেন্দ্র O কে একই বিন্দু O বিবেচনা করে

   লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব, OQ' = -v' [ :-অবাস্তব লক্ষ্যবস্তু ]

  বিম্বের দূরত্ব, OQ = v

(6.9) সমীকরণ থেকে আমরা পাই,

$\frac{1}{v}+\frac{\mu }{-v`}+=\frac{1-\mu }{r_2}$.. (6.11)

 এখানে, r₂ লেন্সের দ্বিতীয় পৃষ্ঠের বক্রতার ব্যাসার্ধ। 

সমীকরণ (6.10) ও (6.11) যোগ করে আমরা পাই,

$$\begin{gathered} \frac{1}{v}+\frac{1}{u}+=\frac{\mu -1}{r_1}+\frac{1-\mu }{r_2} \\ \frac{1}{v}+\frac{1}{u}+=\left(\mu -1\right)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}) \end{gathered}$$.. (6.12)

    কোনো লেন্সের সামনে লক্ষ্যবস্তু অসীম দূরত্বে থাকলে যেখানে বিম্ব গঠিত হয় সেটি লেন্সের প্রধান ফোকাস এবং আলোক কেন্দ্র থেকে এর দূরত্বকে ফোকাস দূরত্ব বলে।

   অতএব u = $\infty$ হলে v = f হয়। সুতরাং (6.12) সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা পাই,

$$\begin{gathered} \frac{1}{f}+\frac{1}{\infty }=\left(\mu -1\right)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) \\ \frac{1}{f}=\left(\mu -1\right)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) \end{gathered}$$.. (6.13)

    এই সমীকরণকে লেন্সের ফোকাস দূরত্বের সাধারণ সমীকরণ বলে। লেন্স তৈরির কাজে এই সমীকরণ ব্যবহার করা হয় বলে একে লেন্স তৈরির সমীকরণ বা প্রস্তুতকারকের সমীকরণও বলা হয় ।