একটি পৈঁসু চলক x এর গড় 0.3 হলে, P(0 < x < 2) এর মান কত?

একটি পৈঁসু (Poisson) চলক \(X\) এর সম্ভাব্যতার ভর ফাংশন (Probability Mass Function, PMF) হলো:

\[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

যেখানে,

    
• \(k\) হলো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘটনা (non-negative integer: \(0, 1, 2, ...\))
    
• \(\lambda\) হলো প্রতি একক সময়ে বা স্থানে ঘটনার গড় সংখ্যা (mean)।
    
• \(e\) হলো অয়লারের সংখ্যা (Euler's number), যার মান প্রায় \(2.71828\)।

প্রশ্নে দেওয়া আছে:

    
• পৈঁসু চলক \(x\) এর গড় (\(\lambda\)) = \(0.3\)
    
• আমাদের নির্ণয় করতে হবে \(P(0 < x < 2)\) এর মান।

পৈঁসু চলক কেবল অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (non-negative integers) মান গ্রহণ করতে পারে। \(0 < x < 2\) শর্তটি অনুযায়ী \(x\) এর একমাত্র পূর্ণসংখ্যা মান হতে পারে \(1\)।

সুতরাং, আমাদের \(P(X=1)\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

১. গড় \(\lambda = 0.3\) এবং \(k = 1\) সম্ভাব্যতার ভর ফাংশনে বসিয়ে পাই:

\[ P(X=1) = \frac{e^{-0.3} (0.3)^1}{1!} \]

২. \(1! = 1\) এবং \((0.3)^1 = 0.3\)। সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\[ P(X=1) = e^{-0.3} \times 0.3 \]

৩. এখন \(e^{-0.3}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। ক্যালকুলেটরের সাহায্যে আমরা পাই:

\[ e^{-0.3} \approx 0.74081822 \]

৪. এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[ P(X=1) \approx 0.74081822 \times 0.3 \]

\[ P(X=1) \approx 0.222245466 \]

৫. বিকল্পগুলির (options) সাথে তুলনা করলে, \(0.222245466\) এর নিকটতম মান হলো \(0.22224\)।

অতএব, \(P(0 < x < 2)\) এর মান হলো প্রায় \(0.22224\)।