(ক^২ + ১) বীজগণিতীয় রাশিটির কত তম পদ ১০১৭?

চিত্রের বর্ণগুলো সমান দৈর্ঘ্যের রেখাংশের দ্বারা তৈরি করা হয়। এ রকম কয়েকটি অঙ্কের চিত্র লক্ষ করি :

চিত্রগুলো তৈরি করতে কতগুলো রেখাংশ প্রয়োজন এর প্যাটার্ন লক্ষ করি। 'ক' সংখ্যক অঙ্ক তৈরির জন্য রেখাংশের সংখ্যা প্রতি প্যাটার্নের শেষে বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ ৪।

উপরের জ্যামিতিক চিত্রগুলো একটি প্যাটার্ন তৈরি করছে যা সমান দৈর্ঘ্যের কাঠি দিয়ে তৈরি।
ক. প্যাটার্নে চতুর্থ চিত্রটি তৈরি করে কাঠির সংখ্যা নির্ণয় কর।
খ. প্যাটার্নটি কোন বীজগণিতীয় রাশিকে সমর্থন করে তা যুক্তিসহ উপস্থাপন কর। গ. প্যাটার্নটির প্রথম পঞ্চাশটি চিত্র তৈরি করতে মোট কতটি কাঠি দরকার হবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান : 

(ক) উদ্দীপকের আলোকে চতুর্থ প্যাটার্নটি নিম্নরূপ

     প্যাটার্নটিতে সমান দৈর্ঘ্যের কাঠির সংখ্যা ২১

(খ) ১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা  = ৬
                                            = ৫ + ১
                                            = ৫ X 1 + 1
       ২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা  = ১১
                                            = ১০ + ১
                                            = ৫ X ২ + ১
       ৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা  = ১৬
                                            = ১৫ + ১
                                            =  ৫ X ৩ + ১
       ৪র্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা  = ২১
                                            = ২০+১
                                            = ৫ X ৪ + ১
       একই ভাবে ক-তম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা = ৫ X ক + ১
                                                                    = ৫ক + ১
.:. প্যাটার্নগুলো (৫ক+১) বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

(গ) ‘খ’ অংশ থেকে পাই
        প্যাটার্নটির বীজগাণিতিক রাশি ৫ক+১
.. ৫০ তম প্যাটার্নে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = ৫ X ৫০ + ১
                                                                    = ২৫০ + ১
                                                                    = ২৫১
এখন, প্যাটার্নগুলোর কাঠির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৬ + ১১ + ১৬ + ২১ +...+ ২৫১
এখানে, ১ম পদ    = ৬
শেষ পদ              = ২৫১
পদ সংখ্যা            = ৫০

                            = ২৭৫ X ২৫

                            = ৬৪২৫

.:. ৫০টি প্যাটার্ন তৈরিতে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা ৬৪২৫