চিত্ত-৩ এ প্রদর্শিত সার্কিটের A-B গ্রান্ডের তুল্য রোধ কত হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সার্কিটে A-B টার্মিনালের সাপেক্ষে তুল্য রোধ নির্ণয় করতে হবে। সার্কিটটিকে সরল করার জন্য আমরা ডেল্টা-স্টার (Δ-Y) রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধাপ ১: ডেল্টা নেটওয়ার্ক সনাক্তকরণ এবং স্টার নেটওয়ার্কে রূপান্তর

সার্কিটের মাঝখানে তিনটি ৫Ω রোধ নিয়ে C, D এবং E বিন্দুগুলোর মধ্যে একটি ডেল্টা (Δ) নেটওয়ার্ক গঠিত হয়েছে। রোধগুলো হলো: R_CD = ৫Ω, R_CE = ৫Ω এবং R_DE = ৫Ω।

এই ডেল্টা নেটওয়ার্কটিকে একটি স্টার (Y) নেটওয়ার্কে রূপান্তর করি, যার কেন্দ্রবিন্দু O। স্টার নেটওয়ার্কের প্রতিটি শাখার রোধ হবে:

\(R_{CO} = \frac{R_{CD} \times R_{CE}}{R_{CD} + R_{CE} + R_{DE}}\)

\(R_{CO} = \frac{৫ \times ৫}{৫ + ৫ + ৫} = \frac{২৫}{১৫} = \frac{৫}{৩} \Omega\)

একইভাবে,

\(R_{DO} = \frac{R_{CD} \times R_{DE}}{R_{CD} + R_{CE} + R_{DE}} = \frac{৫ \times ৫}{১৫} = \frac{২৫}{১৫} = \frac{৫}{৩} \Omega\)

\(R_{EO} = \frac{R_{CE} \times R_{DE}}{R_{CD} + R_{CE} + R_{DE}} = \frac{৫ \times ৫}{১৫} = \frac{২৫}{১৫} = \frac{৫}{৩} \Omega\)

ধাপ ২: স্টার রূপান্তরের পর সার্কিট সরলীকরণ

ডেল্টা CDE কে স্টার CO, DO, EO দ্বারা প্রতিস্থাপন করার পর সার্কিটটি নিম্নরূপ দেখাবে:

    
• A থেকে C পর্যন্ত রোধ R_AC = ১৫Ω। এখন C থেকে O পর্যন্ত রোধ R_CO = ৫/৩Ω।
    
• B থেকে D পর্যন্ত রোধ R_BD = ৫Ω। এখন D থেকে O পর্যন্ত রোধ R_DO = ৫/৩Ω।
    
• B থেকে E পর্যন্ত রোধ R_BE = ৫Ω। এখন E থেকে O পর্যন্ত রোধ R_EO = ৫/৩Ω।
    
• A এবং B এর মধ্যে সরাসরি একটি রোধ R_{AB_direct} = ৫Ω।

ধাপ ৩: সিরিজ এবং সমান্তরাল সংযোগ নির্ণয়

এখন, আমরা A এবং B টার্মিনালের মধ্যবর্তী তুল্য রোধ নির্ণয় করব:

১. A থেকে O পর্যন্ত মোট রোধ:

\(R_{AO\_path} = R_{AC} + R_{CO} = ১৫ + \frac{৫}{৩} = \frac{৪৫ + ৫}{৩} = \frac{৫০}{৩} \Omega\)

২. B থেকে O পর্যন্ত দুটি সমান্তরাল পথ রয়েছে:

   ক) B-D-O পথ: \(R_{BDO\_path} = R_{BD} + R_{DO} = ৫ + \frac{৫}{৩} = \frac{১৫ + ৫}{৩} = \frac{২০}{৩} \Omega\)

   খ) B-E-O পথ: \(R_{BEO\_path} = R_{BE} + R_{EO} = ৫ + \frac{৫}{৩} = \frac{১৫ + ৫}{৩} = \frac{২০}{৩} \Omega\)

   এই দুটি পথ B এবং O বিন্দুর মধ্যে সমান্তরালে সংযুক্ত। সুতরাং, B থেকে O পর্যন্ত তুল্য রোধ:

\(R_{BO\_equivalent} = \frac{R_{BDO\_path} \times R_{BEO\_path}}{R_{BDO\_path} + R_{BEO\_path}} = \frac{\frac{২০}{৩} \times \frac{২০}{৩}}{\frac{২০}{৩} + \frac{২০}{৩}} = \frac{\frac{৪০০}{৯}}{\frac{৪০}{৩}}\)

\(R_{BO\_equivalent} = \frac{৪০০}{৯} \times \frac{৩}{৪০} = \frac{১০}{৩} \Omega\)

ধাপ ৪: চূড়ান্ত তুল্য রোধ নির্ণয়

এখন সার্কিটটি নিম্নরূপ দাঁড়ালো:

    
• A এবং O এর মধ্যে একটি রোধ \(R_{AO\_path} = \frac{৫০}{৩} \Omega\)।
    
• B এবং O এর মধ্যে একটি রোধ \(R_{BO\_equivalent} = \frac{১০}{৩} \Omega\)।
    
• A এবং B এর মধ্যে সরাসরি একটি রোধ \(R_{AB\_direct} = ৫ \Omega\)।

A এবং B টার্মিনালের মধ্যে তুল্য রোধ নির্ণয় করতে, আমরা দেখতে পাই যে A-O-B পথটি \(R_{AO\_path}\) এবং \(R_{BO\_equivalent}\) এর সিরিজ সংযোগ। এই সিরিজ সংযোগটি \(R_{AB\_direct}\) এর সাথে সমান্তরালে আছে।

A-O-B পথের মোট রোধ:

\(R_{series\_AOB} = R_{AO\_path} + R_{BO\_equivalent} = \frac{৫০}{৩} + \frac{১০}{৩} = \frac{৬০}{৩} = ২০ \Omega\)

এখন, \(R_{series\_AOB} = ২০ \Omega\) এবং \(R_{AB\_direct} = ৫ \Omega\) সমান্তরালে আছে। সুতরাং, A-B গ্রান্ডের তুল্য রোধ হবে:

\(R_{AB\_equivalent} = \frac{R_{series\_AOB} \times R_{AB\_direct}}{R_{series\_AOB} + R_{AB\_direct}}\)

\(R_{AB\_equivalent} = \frac{২০ \times ৫}{২০ + ৫} = \frac{১০০}{২৫} = ৪ \Omega\)

অতএব, সার্কিটের A-B গ্রান্ডের তুল্য রোধ হবে ৪ Ω।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৪ Ω নেই। এই সমস্যাটির জন্য প্রদত্ত অপশনগুলো ভুল।