চিত্রের আলোকে কোন অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটিকে ঘুরানো সবচেয়ে কঠিন হবে?

একটি দণ্ডকে কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরানো কতটা সহজ বা কঠিন হবে তা দণ্ডটির ঐ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক (Moment of Inertia) দ্বারা নির্ধারিত হয়। জড়তার ভ্রামক যত বেশি হবে, দণ্ডটিকে ঘোরানো তত কঠিন হবে।

কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক বস্তুর ভর ও ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরকণাগুলোর দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টির উপর নির্ভর করে। অর্থাৎ, ভর যত বেশি দূরে বন্টন করা থাকবে, জড়তার ভ্রামক তত বেশি হবে।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (Parallel Axis Theorem) অনুযায়ী, কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক \(I = I_{CM} + Md^2\) যেখানে,

    
• \(I_{CM}\) হলো বস্তুর ভরকেন্দ্র (Center of Mass) দিয়ে অতিক্রান্ত অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক।
    
• \(M\) হলো বস্তুর ভর।
    
• \(d\) হলো ভরকেন্দ্রগামী অক্ষ এবং প্রদত্ত অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।

এই উপপাদ্য থেকে দেখা যায়, ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক সর্বনিম্ন হয় (\(d=0\))। ঘূর্ণন অক্ষ ভরকেন্দ্র থেকে যত দূরে সরে যাবে, \(Md^2\) এর মান তত বাড়বে এবং ফলে সামগ্রিক জড়তার ভ্রামক \(I\) বৃদ্ধি পাবে। তাই, ভরকেন্দ্র থেকে সবচেয়ে বেশি দূরে অবস্থিত অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুকে ঘোরানো সবচেয়ে কঠিন হবে।

চিত্র অনুযায়ী, দণ্ডটি সুষম এবং AB, CD, EF, GH অক্ষগুলো দণ্ডের দৈর্ঘ্যের সাথে লম্বভাবে অবস্থিত। অক্ষগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব ২৫ সেমি করে দেওয়া আছে। EF অক্ষটি অন্যান্য অক্ষগুলোর সাপেক্ষে মাঝামাঝি অবস্থানে থাকায়, এটিকে দণ্ডটির ভরকেন্দ্রগামী অক্ষ বলে ধরে নেওয়া যায়। এখন, EF অক্ষ থেকে অন্যান্য অক্ষগুলোর দূরত্ব নির্ণয় করি:

    
• EF অক্ষ থেকে EF অক্ষের দূরত্ব, \(d_{EF} = 0 \text{ cm}\)
    
• EF অক্ষ থেকে CD অক্ষের দূরত্ব, \(d_{CD} = 25 \text{ cm}\)
    
• EF অক্ষ থেকে GH অক্ষের দূরত্ব, \(d_{GH} = 25 \text{ cm}\)
    
• EF অক্ষ থেকে AB অক্ষের দূরত্ব, \(d_{AB} = 25 \text{ cm} + 25 \text{ cm} = 50 \text{ cm}\)

উপরের দূরত্বগুলো তুলনা করলে দেখা যায়, AB অক্ষটি EF অক্ষ (ভরকেন্দ্রগামী অক্ষ) থেকে সবচেয়ে বেশি দূরে (50 cm) অবস্থিত। সুতরাং, AB অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক সর্বোচ্চ হবে। আর যে অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক সর্বোচ্চ, সেই অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটিকে ঘোরানো সবচেয়ে কঠিন হবে।

অতএব, AB অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটিকে ঘোরানো সবচেয়ে কঠিন হবে।