দুটি সমান দৈর্ঘ্যের তারের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 2 । এদের উপর একটি সমান বল প্রয়োগ করা হলো। যদি তার দুটির দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধির অনুপাত 3 : 1 হয়, তবে তার দুটির উপাদানের ইয়ং- এর গুনাঙ্কের অনুপাত নির্ণয় কর।

দুটি তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুনাঙ্কের অনুপাত নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে ইয়ং-এর গুনাঙ্কের (Young's Modulus) সূত্রটি জানতে হবে।

ইয়ং-এর গুনাঙ্ক \(Y\) = \(\frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}\) = \(\frac{\text{প্রযুক্ত বল} / \text{ক্ষেত্রফল}}{\text{দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধি} / \text{মূল দৈর্ঘ্য}}\)

সুতরাং, \(Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}\)

এখানে,

    
• \(F\) = প্রযুক্ত বল (Applied Force)
    
• \(L\) = মূল দৈর্ঘ্য (Original Length)
    
• \(A\) = প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (Cross-sectional Area)
    
• \(\Delta L\) = দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধি (Extension in Length)

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2\), যেখানে \(r\) হলো তারের ব্যাসার্ধ।

অতএব, ইয়ং-এর গুনাঙ্কের সূত্রটি দাঁড়ায়: \(Y = \frac{FL}{\pi r^2 \Delta L}\)

প্রশ্নানুযায়ী প্রদত্ত তথ্য:

    
• দুটি তারের মূল দৈর্ঘ্য সমান: \(L_1 = L_2 = L\)
    
• দুটি তারের উপর প্রযুক্ত বল সমান: \(F_1 = F_2 = F\)
    
• ব্যাসার্ধের অনুপাত \(r_1 : r_2 = 1 : 2\), অর্থাৎ \(r_2 = 2r_1\)
    
• দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধির অনুপাত \(\Delta L_1 : \Delta L_2 = 3 : 1\), অর্থাৎ \(\Delta L_1 = 3 \Delta L_2\)

এখন, প্রথম তারের জন্য ইয়ং-এর গুনাঙ্ক:

\(Y_1 = \frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{FL}{\pi r_1^2 (3 \Delta L_2)}\)

এবং দ্বিতীয় তারের জন্য ইয়ং-এর গুনাঙ্ক:

\(Y_2 = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2} = \frac{FL}{\pi (2r_1)^2 \Delta L_2} = \frac{FL}{\pi (4r_1^2) \Delta L_2}\)

তার দুটির উপাদানের ইয়ং-এর গুনাঙ্কের অনুপাত \(Y_1 : Y_2\) নির্ণয় করি:

\(\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{\frac{FL}{\pi r_1^2 (3 \Delta L_2)}}{\frac{FL}{\pi (4r_1^2) \Delta L_2}}\)

\(\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{FL}{\pi r_1^2 (3 \Delta L_2)} \times \frac{\pi (4r_1^2) \Delta L_2}{FL}\)

এখানে \(FL\), \(\pi\), \(r_1^2\) এবং \(\Delta L_2\) উভয় পক্ষ থেকে বাতিল হয়ে যায়।

\(\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{1}\)

\(\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{4}{3}\)

সুতরাং, তার দুটির উপাদানের ইয়ং-এর গুনাঙ্কের অনুপাত হলো 4 : 3।