দুটি সরল দোলকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে L ও 3L দ্বিতীয় দোলকের দোলনকাল 3 s হলে, প্রথম দোলকের দোলনকাল কত s ?

সরল দোলকের দোলনকাল (Time Period) তার দৈর্ঘ্যের (Length) বর্গমূলের সমানুপাতিক। অর্থাৎ, যদি দোলকের দৈর্ঘ্য \(L\) হয় এবং দোলনকাল \(T\) হয়, তাহলে তাদের সম্পর্কটি হলো:

\[T \propto \sqrt{L}\]

অথবা, গাণিতিকভাবে আমরা লিখতে পারি:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

যেখানে, \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (acceleration due to gravity)। যেহেতু একই স্থানে দুটি দোলকের জন্য \(2\pi\) এবং \(g\) ধ্রুবক, তাই আমরা লিখতে পারি:

\[\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}\]

প্রশ্নানুযায়ী:

    
• প্রথম দোলকের দৈর্ঘ্য \(L_1 = L\)
    
• দ্বিতীয় দোলকের দৈর্ঘ্য \(L_2 = 3L\)
    
• দ্বিতীয় দোলকের দোলনকাল \(T_2 = 3 \, s\)

আমরা প্রথম দোলকের দোলনকাল \(T_1\) নির্ণয় করব। উপরের সম্পর্কে মান বসিয়ে পাই:

\[\frac{T_1}{3} = \sqrt{\frac{L}{3L}}\]

\[\frac{T_1}{3} = \sqrt{\frac{1}{3}}\]

\[\frac{T_1}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

এখন, \(T_1\) এর জন্য সমাধান করলে পাই:

\[T_1 = \frac{3}{\sqrt{3}}\]

হর থেকে বর্গমূল দূর করার জন্য লব ও হরকে \(\sqrt{3}\) দিয়ে গুণ করি:

\[T_1 = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\]

\[T_1 = \frac{3\sqrt{3}}{3}\]

\[T_1 = \sqrt{3} \, s\]

সুতরাং, প্রথম দোলকের দোলনকাল হবে \(\sqrt{3}\) সেকেন্ড।