নিচের কোনটি এক-এক ফাংশন?

একটি ফাংশন \(F: A \to B\) কে এক-এক (one-to-one) ফাংশন বলা হয় যদি এর ডোমেইনের (domain) ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের জন্য কো-ডোমেইনে (co-domain) ভিন্ন ভিন্ন প্রতিচ্ছবি (image) থাকে। গাণিতিকভাবে, যদি \(F(x_1) = F(x_2)\) হয়, তবে অবশ্যই \(x_1 = x_2\) হতে হবে। অথবা, যদি \(x_1 \neq x_2\) হয়, তবে \(F(x_1) \neq F(x_2)\) হতে হবে।

চলুন, প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করি:

১. \(F(x) = (x+4)^2\)

এই ফাংশনটি এক-এক নয়। উদাহরণস্বরূপ:

    
• যদি \(x = -3\) হয়, তবে \(F(-3) = (-3+4)^2 = (1)^2 = 1\)
    
• যদি \(x = -5\) হয়, তবে \(F(-5) = (-5+4)^2 = (-1)^2 = 1\)

এখানে, \(x = -3\) এবং \(x = -5\) ভিন্ন হলেও, তাদের ফাংশনাল মান একই (\(F(-3) = F(-5) = 1\))। তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।

২. F(x) = |x-3|

এই ফাংশনটিও এক-এক নয়। উদাহরণস্বরূপ:

    
• যদি \(x = 2\) হয়, তবে \(F(2) = |2-3| = |-1| = 1\)
    
• যদি \(x = 4\) হয়, তবে \(F(4) = |4-3| = |1| = 1\)

এখানে, \(x = 2\) এবং \(x = 4\) ভিন্ন হলেও, তাদের ফাংশনাল মান একই (\(F(2) = F(4) = 1\))। তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।

৩. \(F(x) = e^x\)

এই ফাংশনটি একটি এক-এক ফাংশন। এটি একটি সূচকীয় ফাংশন (exponential function) যা তার ডোমেইনে (বাস্তব সংখ্যা) সর্বদা ক্রমবর্ধমান (strictly increasing)।

যদি \(F(x_1) = F(x_2)\) হয়, তাহলে \(e^{x_1} = e^{x_2}\)। উভয় পাশে স্বাভাবিক লগারিদম (\(\ln\)) নিলে আমরা পাই:

\(\ln(e^{x_1}) = \ln(e^{x_2})\)

\(x_1 = x_2\)

যেহেতু \(F(x_1) = F(x_2)\) শুধুমাত্র তখনই সম্ভব যখন \(x_1 = x_2\) হয়, তাই \(F(x) = e^x\) একটি এক-এক ফাংশন।

৪. \(F(x) = \frac{5}{|x|}\) (যেখানে \(x \ne 0\))

এই ফাংশনটিও এক-এক নয়। উদাহরণস্বরূপ:

    
• যদি \(x = 1\) হয়, তবে \(F(1) = \frac{5}{|1|} = 5\)
    
• যদি \(x = -1\) হয়, তবে \(F(-1) = \frac{5}{|-1|} = 5\)

এখানে, \(x = 1\) এবং \(x = -1\) ভিন্ন হলেও, তাদের ফাংশনাল মান একই (\(F(1) = F(-1) = 5\))। তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, কেবলমাত্র \(F(x) = e^x\) ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।