নিচের কোন ফাংশনটি one-to-one ও onto ?

একটি ফাংশন \(f: A \to B\) কে এক-এক (One-to-one) ফাংশন বলা হয় যদি ডোমেনের (Domain) ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের জন্য রেঞ্জের (Range) ভিন্ন ভিন্ন সদস্য পাওয়া যায়। অর্থাৎ, যদি \(x_1, x_2 \in A\) এবং \(x_1 \neq x_2\) হয়, তবে \(f(x_1) \neq f(x_2)\) হবে। অথবা, যদি \(f(x_1) = f(x_2)\) হয়, তবে অবশ্যই \(x_1 = x_2\) হতে হবে।

একটি ফাংশন \(f: A \to B\) কে সার্বিক (Onto) ফাংশন বলা হয় যদি ফাংশনটির রেঞ্জ (Range) তার কোডোমেনের (Codomain) সমান হয়। অর্থাৎ, রেঞ্জ \(f\) = কোডোমেন \(B\)। এর মানে হলো, কোডোমেনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেনে অন্তত একটি প্রাক-প্রতিচ্ছবি (pre-image) বিদ্যমান থাকবে।

প্রদত্ত ফাংশনগুলোর জন্য সাধারণত ডোমেন ও কোডোমেন উভয়ই বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) ধরা হয়, যদি না সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করা থাকে। এখন প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করা যাক:

১. \(f(x) = 2x^2\)

    
• এক-এক কিনা পরীক্ষা:         ধরি, \(f(x_1) = f(x_2)\)।         তাহলে, \(2x_1^2 = 2x_2^2\)         \(x_1^2 = x_2^2\)         \(x_1 = \pm x_2\)         যেহেতু \(x_1\) এর মান \(x_2\) এর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে (যেমন, \(f(2) = 2(2^2) = 8\) এবং \(f(-2) = 2(-2)^2 = 8\)), তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।     
    
• সার্বিক কিনা পরীক্ষা:         \(f(x) = 2x^2\) ফাংশনের রেঞ্জ হলো \([0, \infty)\) বা \(\{y \in \mathbb{R} : y \ge 0\}\)।         যদি কোডোমেন \(\mathbb{R}\) ধরা হয়, তাহলে রেঞ্জ কোডোমেনের সমান নয়, কারণ নেগেটিভ বাস্তব সংখ্যাগুলোর কোনো প্রাক-প্রতিচ্ছবি নেই। যেমন, \(f(x) = -2\) এর জন্য কোনো বাস্তব \(x\) এর মান পাওয়া যায় না।         সুতরাং, এটি সার্বিক ফাংশন নয়।     

২. \(f(x) = |2x|\)

    
• এক-এক কিনা পরীক্ষা:         ধরি, \(f(x_1) = f(x_2)\)।         তাহলে, \(|2x_1| = |2x_2|\)         \(|x_1| = |x_2|\)         \(x_1 = \pm x_2\)         যেহেতু \(x_1\) এর মান \(x_2\) এর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে (যেমন, \(f(2) = |2 \cdot 2| = 4\) এবং \(f(-2) = |2 \cdot (-2)| = 4\)), তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।     
    
• সার্বিক কিনা পরীক্ষা:         \(f(x) = |2x|\) ফাংশনের রেঞ্জ হলো \([0, \infty)\) বা \(\{y \in \mathbb{R} : y \ge 0\}\)।         যদি কোডোমেন \(\mathbb{R}\) ধরা হয়, তাহলে রেঞ্জ কোডোমেনের সমান নয়।         সুতরাং, এটি সার্বিক ফাংশন নয়।     

৩. \(f(x) = \frac{x + 2}{3}\)

    
• এক-এক কিনা পরীক্ষা:         ধরি, \(f(x_1) = f(x_2)\)।         তাহলে, \(\frac{x_1 + 2}{3} = \frac{x_2 + 2}{3}\)         \(x_1 + 2 = x_2 + 2\)         \(x_1 = x_2\)         যেহেতু \(f(x_1) = f(x_2)\) হলে \(x_1 = x_2\) হয়, তাই এটি একটি এক-এক ফাংশন।     
    
• সার্বিক কিনা পরীক্ষা:         ধরি, \(y = f(x)\)।         তাহলে, \(y = \frac{x + 2}{3}\)         \(3y = x + 2\)         \(x = 3y - 2\)         এখানে \(y\) এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য \(x\) এর একটি বাস্তব মান পাওয়া যায়। সুতরাং, ফাংশনটির রেঞ্জ \(\mathbb{R}\)।         যদি কোডোমেন \(\mathbb{R}\) ধরা হয়, তাহলে রেঞ্জ কোডোমেনের সমান।         সুতরাং, এটি একটি সার্বিক ফাংশন।     

যেহেতু এই ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক উভয়ই, তাই এটি সঠিক উত্তর।

৪. \(f(x) = \cos x\)

    
• এক-এক কিনা পরীক্ষা:         কস ফাংশনটি পর্যায়বৃত্ত (periodic)। যেমন, \(f(0) = \cos(0) = 1\) এবং \(f(2\pi) = \cos(2\pi) = 1\)।         ভিন্ন ভিন্ন ইনপুট (0 এবং \(2\pi\)) একই আউটপুট (1) দিচ্ছে, তাই এটি এক-এক ফাংশন নয়।     
    
• সার্বিক কিনা পরীক্ষা:         \(f(x) = \cos x\) ফাংশনের রেঞ্জ হলো \([-1, 1]\)।         যদি কোডোমেন \(\mathbb{R}\) ধরা হয়, তাহলে রেঞ্জ \([-1, 1]\) কোডোমেন \(\mathbb{R}\) এর সমান নয়।         সুতরাং, এটি সার্বিক ফাংশন নয়।     

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, শুধুমাত্র \(f(x) = \frac{x + 2}{3}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক উভয়ই।