নিচের কোন বিন্দুগুলোর সংযোজক রেখা মূল বিন্দুগামী?

বিস্তারিত সমাধান:

দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখা মূলবিন্দুগামী হবে যদি রেখাটির সমীকরণ \(y = mx\) আকারের হয়, অর্থাৎ রেখাটি \((0,0)\) বিন্দুগামী হয়। অন্যভাবে বলা যায়, যদি রেখাটির সমীকরণে \((0,0)\) বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তবে রেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে।

আমরা প্রতিটি বিকল্পের জন্য রেখার সমীকরণ নির্ণয় করে দেখবো কোনটি \((0,0)\) বিন্দুগামী। দুটি বিন্দু \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) দিয়ে অতিক্রমকারী রেখার সমীকরণ হলো:

\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

১. বিকল্প ১ এবং ২: \((2,0)\) এবং \((0,2)\)

বিন্দু \((2,0)\) এবং \((0,2)\) এর জন্য রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 0}{x - 2} = \frac{2 - 0}{0 - 2}\)

\(\frac{y}{x - 2} = \frac{2}{-2}\)

\(\frac{y}{x - 2} = -1\)

\(y = -1(x - 2)\)

\(y = -x + 2\)

\(x + y = 2\)

এখন, এই সমীকরণে মূলবিন্দু \((0,0)\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(0 + 0 = 2\)

\(0 = 2\)

যেহেতু এটি মিথ্যা, এই রেখাটি মূলবিন্দুগামী নয়।

২. বিকল্প ৩: \((0,1)\) এবং \((1,0)\)

বিন্দু \((0,1)\) এবং \((1,0)\) এর জন্য রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 1}{x - 0} = \frac{0 - 1}{1 - 0}\)

\(\frac{y - 1}{x} = \frac{-1}{1}\)

\(\frac{y - 1}{x} = -1\)

\(y - 1 = -x\)

\(x + y = 1\)

এখন, এই সমীকরণে মূলবিন্দু \((0,0)\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(0 + 0 = 1\)

\(0 = 1\)

যেহেতু এটি মিথ্যা, এই রেখাটি মূলবিন্দুগামী নয়।

৩. বিকল্প ৪: \((-2,-1)\) এবং \((2,1)\)

বিন্দু \((-2,-1)\) এবং \((2,1)\) এর জন্য রেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - (-1)}{x - (-2)} = \frac{1 - (-1)}{2 - (-2)}\)

\(\frac{y + 1}{x + 2} = \frac{1 + 1}{2 + 2}\)

\(\frac{y + 1}{x + 2} = \frac{2}{4}\)

\(\frac{y + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}\)

\(2(y + 1) = 1(x + 2)\)

\(2y + 2 = x + 2\)

\(2y = x\)

\(x - 2y = 0\)

এখন, এই সমীকরণে মূলবিন্দু \((0,0)\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(0 - 2(0) = 0\)

\(0 = 0\)

যেহেতু এটি সত্য, এই রেখাটি মূলবিন্দুগামী।

যদি দুটি বিন্দু \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) দিয়ে অতিক্রমকারী রেখা মূলবিন্দুগামী হয়, তবে এই তিনটি বিন্দু (মূলবিন্দুসহ) সমরেখ হবে। এর একটি সহজ উপায় হলো, যদি \(x_1 \ne 0\) এবং \(x_2 \ne 0\) হয়, তবে \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\) হবে।

• বিকল্প ১ ও ২: \((2,0)\) এবং \((0,2)\)     

  \(\frac{0}{2} = 0\)

      

  \(\frac{2}{0}\) (অসংজ্ঞায়িত)

      

  সমান নয়।

• বিকল্প ৩: \((0,1)\) এবং \((1,0)\)     

  \(\frac{1}{0}\) (অসংজ্ঞায়িত)

      

  \(\frac{0}{1} = 0\)

      

  সমান নয়।

• বিকল্প ৪: \((-2,-1)\) এবং \((2,1)\)     

  \(\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\)

      

  \(\frac{1}{2}\)

      

  সমান। তাই এই রেখাটি মূলবিন্দুগামী।